Encontrar un ideal tal que el cociente sea Cohen-Macaulay

Question

Deje que$R$ sea un anillo noetheriano local conmutativo que no sea un dominio y no Cohen-Macaulay. ¿Podemos encontrar un$I$ ideal en$R$ tal que$R/I$ sea Cohen-Macaulay, y$\dim R/I=\dim R$?

Answer 1

No creo que la respuesta es verdadera en general. Deje $(A,m)$ ser un Noetherian de dominio local, que no es Cohen-Macaulay. Deje $R$ ser la localización de $A[x]/(x^2)$$(m, x)$. A continuación, $(x)$ es el único con un mínimo de prime con $\dim R = \dim R/(x)$, pero $R/(x) \cong A$ no es Cohen-Macaulay.

Deje $I$ $R$- ideal tal que $\dim R/I = \dim R$. Escribir $p = (x)$. A continuación, Min$(R/I) = \{ p \}$ desde $\sqrt{0} = p$. Supongamos que $R/I$ es Cohen-Macaulay. A Continuación, Min$(R/I) =$ Culo$(R/I)$. Por lo tanto $I$ $p$- primaria ideal. Observar que $R_p$ es una localización de $K[x]/(x^2)$ donde $K$ es el campo de la fracción de $A$. Por lo tanto $R_p$ es uno de los principales ideales del anillo. En particular, la única que no es cero adecuada ideal es $p_p$. Esto demuestra que $I_p = p_p$. Por lo tanto, $I = p$ desde $I$ $p$- primaria. Esta es una contradicción.

Answer 2

Deje $R = \{f(1,1) = f(-1,-1)\} \subset k[x,y]$. Por lo $\mathrm{Spec} R$ se ve como una superficie de pasar de nuevo a través de la misma en un punto aislado. El punto singular no es Cohen-Macaulay, ya que se ve como dos aviones de la reunión en un punto (analíticamente).

Ahora vamos a $S = R \oplus R$, lo $\mathrm{Spec} S$ es distinto de la unión de dos copias de esta superficie. No hay Cohen-Macaulay, la dimensión 2 subconjuntos cerrados de $\mathrm{Spec} S$!

Edit: se le preguntó por un anillo local, por lo que en lugar de tomar el de la unión de dos copias de la superficie de la reunión en el punto singular, y tomar el anillo local de el punto.