$xy\geq 4$
La respuesta que me da mi libro es una hipérbola, pero siempre pensé que una hipérbola era una diferencia entre dos variables, ¿cómo funciona esto?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La gráfica de la región del plano correspondiente a $xy\geq 4$, se inicia mediante la representación gráfica de la región del plano correspondiente a $xy=4$. Este es el gráfico de $y=\frac{4}{x}$, que es una hipérbola (no una parábola).
La región en la que $xy\geq 4$ es de $x\gt 0$, la región donde el $y\geq \frac{4}{x}$: la porción del plano por encima de la rama derecha de la hipérbola. Para $x\lt 0$, la región donde el $xy\geq 4$ es la misma que la de la región donde $y\leq \frac{4}{x}$ (ya que estamos dividiendo por un número negativo), por lo que es la región por debajo de la rama izquierda de la hipérbola.
Añadido 1. La razón por la que se permite a las transformaciones que hice anteriormente, dividiendo por $x$, es que estoy siendo muy cuidadoso con ellos. Estás en lo correcto de que no se debe manipular la desigualdad porque se corre el riesgo de cambiar la forma. Las cosas que usted necesita tener cuidado con la hora de hacer las desigualdades son
- Dividiendo por $0$; esto se produce cuando se divide por una expresión con variables que no sabe si puede o no ser igual a $0$ o no; esto puede resultar en la eliminación de soluciones válidas.
- Multiplicando por $0$; del mismo tipo de problema.
- Multiplicar o dividir por un número negativo, porque esto de los cambios de la desigualdad. Esto es de nuevo un problema si la división/multiplicación de expresiones que involucran la variable.
- Hay otras manipulaciones que pueden cambiar las soluciones; el cuadrado de una ecuación/desigualdad puede introducir los "falsos positivos" (soluciones espurias), ya que $a^2=b^2$ no implica $a=b$. Uno tiene que ser cuidadoso cuando se multiplica igualdades o tratando de sacar raíces cuadradas.
Para seguir con el ejemplo, si yo fuera a tratar de ir de $xy\geq 4$, y dijo: "dividiendo por $x$, obtenemos $y\geq 4/x$", entonces yo sería cambiar la forma, porque no sé si $x$ es positivo o negativo o cero, así que no sé si (i) que realmente se puede dividir por $x$; es decir, si $x\neq 0$; y no sé si (ii) dividiendo por $x$ cambia el signo de la desigualdad de $\geq$ $\leq$(como lo sería si $x$ es negativo).
Así te darás cuenta de que he manejado los diferentes casos por separado: (i) en Primer lugar, vemos lo que sucede si $x$ es positivo. En ese caso, dividiendo por $x$ no cambia la desigualdad, por lo que nos quedamos con $y\geq 4/x$ e $x\gt 0$. Es por eso que sólo teníamos la rama derecha de la hipérbola. (ii) vemos, Entonces, ¿qué sucede si $x$ es negativo. En ese caso, dividiendo por $x$ hace cambiar la desigualdad, por lo que nos quedamos con $y\leq \frac{4}{x}$ e $x\lt 0$. Es por eso que sólo teníamos la rama izquierda de la hipérbola. (iii) Finalmente, consideramos el caso en que $x=0$; luego tenemos a $xy\geq 4$, lo cual es imposible, ya que $x=0$$xy=0$, que no es mayor que o igual a $4$.
Así que considerando las diferentes posibilidades cuidadosamente y por separado, nos aseguramos de que no estamos "cambiando la forma" cuando manipulamos la desigualdad.
Las razones por las que tu comentó intento, pasando de $x^2+y^2=9$ $x+y=3$falla, son legión. En primer lugar, usted está tomando la raíz cuadrada de la izquierda incorrectamente: $$\sqrt{a+b}\neq \sqrt{a} + \sqrt{b}.$$ Muchos de los estudiantes han afirmado este desde tiempo inmemorial; todavía es malo. (Acabo de probarlo con $a=b=2$; el lado izquierdo es $\sqrt{4}=2$, el lado derecho es $2\sqrt{2}\approx 2.82$). En segundo lugar, incluso si usted hizo tener $\sqrt{x^2}$, obtendría $|x|$, no $x$, porque no conozco el signo de $x$.
Por ejemplo, supongamos que usted tenía $x^2y^2=9$. Si usted simplemente tomar las raíces cuadradas de ambos lados, $\sqrt{x^2y^2} = \sqrt{9}$, y escribo esto como $xy=3$, entonces usted está en el hecho de "perder" soluciones: porque $x=-3$, $y=1$ es una solución a $x^2y^2=9$, pero no a $xy=3$. Eso es debido a que $\sqrt{x^2y^2}$ no es igual a $xy$, es igual a $|xy|$, el valor absoluto de a $xy$. En general, $\sqrt{a^2}=|a|$, no $a$.
Te aviso, espero que lo cuidadoso que yo estaba con las manipulaciones que me hizo hacer a $xy\geq 4$ para asegurarse de que yo no era el cambio de la ecuación.
Agregó 2. ¿Por qué es $xy=4$ una hipérbola?
Un general de la cónica (círculo, elipse, parábola, hipérbola, o cónica degenerada) está dada por una fórmula de la forma $$ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$$ donde $a,b,c,d,e,f$ son constantes, y al menos uno de $a$, $b$, y $c$ no son cero. Bajo un adecuado cambio de variable, lo que equivale a la traducción y/o la rotación de la cónica, de modo que su centro (en el caso de los círculos, elipses e hipérbolas) o su vértice (en el caso de las parábolas) se encuentra en el origen, y sus ejes horizontal y vertical (en el caso de elipses e hipérbolas) o su directriz es horizontal o vertical (en el caso de las parábolas); (con círculos, la simetría significa que no importa).
Haciendo adecuados traducciones y la rotación, siempre podemos traer la ecuación en una mucho mejor forma, es decir, algo de la forma $$\frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} = 1$$ para los círculos y las elipses (es un círculo si $A^2=B^2$, una elipse de otra manera); de la forma $$\frac{x^2}{A^2} - \frac{y^2}{B^2} = 1\qquad\text{or}\qquad \frac{y^2}{B^2}-\frac{x^2}{A^2} = 1$$ para hipérbolas; y de la forma $$y = Ax^2\qquad\text{or}\qquad x = By^2$$ de parábolas.
(Hay otros más general de las formas si usted desea permitir que el centro esté en un lugar distinto al de origen; véase por ejemplo la página de la Wikipedia sobre las secciones cónicas.)
En este caso, el cambio de variable
$$\begin{align*}
x &= \frac{\sqrt{2}}{2}x' + \frac{\sqrt{2}}{2}y'\\
y&= -\frac{\sqrt{2}}{2}x' + \frac{\sqrt{2}}{2}y',
\end{align*}$$
que corresponde a la rotación del plano por $45$ grados, con la $x'=0$ línea correspondiente a la línea $x=y$ y el nuevo eje $y'=0$ a la línea de $x=-y$ (el miedo buscando fracciones $\frac{\sqrt{2}}{2}$ proviene del hecho de que $\sin(45^{\circ}) = \cos(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$),
le da a ese $xy=4$ es equivalente a
$$4 = xy = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}x' + \frac{\sqrt{2}}{2}y'\right)\left(-\frac{-\sqrt{2}}{2}x' + \frac{\sqrt{2}}{2}y'\right) = \frac{1}{2}y'^2 - \frac{1}{2}x'^2$$
así que estamos mirando
$$\frac{1}{8}y'^2 - \frac{1}{8}x'^2 = 1.$$
Si se dibujan las líneas de $x=y$ y llamar a la $x'$-eje; y $x=-y$ y llamar a la $y'$-eje, entonces la gráfica de $xy=4$ es la misma que la gráfica de la hipérbola a continuación. El cambio de las variables, sin embargo, no es muy buena para la discusión de las desigualdades (que puede hacerlo, pero dificulta las cosas; mejor quedarse con $xy$-coordenadas). Esto es sólo para mostrar por qué la $xy=4$ es "realmente" una hipérbola, incluso cuando usted no está viendo una diferencia de cuadrados.
