Demostrar que $a^{2014}+b^{2014}\geq a^{2013}+b^{2013} $ .

Question

Dejemos que $ a, b\in \mathbb {R}_{+} $ s.t. $a^{22}+b^{22}=a^{3}+b^{3} $ . Demostrar que $$a^{2014}+b^{2014}\geq a^{2013}+b^{2013} $$

Por la desigualdad de Chebyshev obtenemos $$a^{19}+b^{19}\leq 2\Leftrightarrow b^{19}-1\leq 1-a^{19}\Leftrightarrow $$ $$ (b-1)(b^{18}+b^{17}+...+b+1)\leq (1-a)(a^{18}+a^{17}+...+a+1) $$

Supuse que $b\geq 1\geq a $ . Entonces $ b^{18}+b^{17}+...+b+1\geq a^{18}+a^{17}+...+a+1$ . Entonces $b-1\leq 1-a \Leftrightarrow a+b\leq 2$ . Ahora estoy atascado.

Answer 1

Supongamos que $a,\ b\ne 1$ . Sea $f(x)=a^x+b^x$ . La función es continua, por lo que su derivada tiene una raíz en $[3,\ 22]$ . Para $x_0$ para ser una raíz de la derivada, la ecuación $$\left(\frac ab\right)^{x_0}=-\frac{\ln{b}}{\ln{a}}$$ debe mantenerse. Podemos ver que $x_0$ es única, por lo que la única raíz de $f'$ está en $[3,\ 22]$ . Ya que para $x\rightarrow\infty$ tenemos $f(x)\rightarrow\infty$ (al menos uno de $a,\ b$ es $>1$ ), la derivada es positiva para $x>22$ Así que $f(m)>f(n)$ para todos $m>n>22$ . En el caso $m=2014$ y $n=2013$ obtenemos la desigualdad anterior.

Answer 2

Dejemos que $f(x)=a^x+b^x\ \ \ \ , \ \ \ \ \ f(3)=f(22)$

Por la desigualdad de los titulares:

$$ \left( f(3) \right )^{\frac{1991}{2010}}\cdot (f(2013))^{1-\frac{1991}{2010}} \ge f(22) \Rightarrow f(2013)\ge f(22)=f(3)$$

$$\left( f(22 \right )^{\frac{1}{1992}}\cdot (f(2014))^{1-\frac{1}{1992}} \ge f(2013) \Rightarrow f(2014) \ge f(2013)$$

Answer 3

Tenemos que demostrar que $$\sum_{cyc}\left(a^{2014}-a^{2013}\right)\geq0$$ o $$\sum_{cyc}\left(a^{2014}-a^{2013}-\frac{1}{19}\left(a^{22}-a^3\right)\right)\geq0$$ o $$\sum_{cyc}a^3\left(19a^{2011}-19a^{2010}-a^{19}+1\right)\geq0.$$ Ahora, por AM-GM $$2010a^{2011}-2011a^{2010}+1\geq0$$ o $$19a^{2011}-\frac{19\cdot2011}{2010}a^{2010}+\frac{19}{2010}\geq0.$$ Id est, es suficiente para demostrar que $$\left(\frac{19\cdot2011}{2010}-19\right)a^{2010}-a^{19}+1-\frac{19}{2010}\geq0$$ o $$19a^{2010}-2010a^{19}+1991\geq0,$$ que es de nuevo AM-GM.

¡Hecho!