Encontrando la suma de ninguna serie aritmética

Question

Tengo una pregunta para encontrar la suma de la siguiente suma: $$ S = \ small {1 * 1 +2 * 3 +3 * 5 +4 * 7 + ... +100 * 199} $$ Me di cuenta de que para cada elemento de esta serie se cumple lo siguiente: $$ a_n = a_ {n-1} + 4n - 3 $$ Pero no sé a dónde ir desde aquí, intenté restar algunas otras series, pero eso no funcionó mucho. bien

Answer 1

Cada término en la ecuación es $n(2n-1)$ , así que $$S=\sum_{n=1}^{100}{n(2n-1)}=2\sum_{n=1}^{100} n^2-\sum_{n=1}^{100} n=2\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}-\frac{m(m+1)}{2}$ $ donde $m=100$ .

Answer 2

Por la suma telescópica obtenemos: $$\sum_{n=1}^{100}n(2n-1)=\sum_{n=1}^{100}\left(\frac{n(n+1)(4n-1)}{6}-\frac{(n-1)n(4n-5)}{6}\right)=$ $ $$=\frac{100\cdot101\cdot399}{6}=671650.$ $

Answer 3

$a_n=\sum_{r=1}^n(4r-3)+a_0=\dfrac n2(1+4n-3)+a_0=2n^2-n+a_0$

PS

Aquí $$\sum_{n=1}^ma_n=2\sum_{n=1}^mn^2-\sum_{n=1}^mn+a_0\sum_{n=1}^m1$

Alternativamente,

PS

PS

WLOG establece $a_0=0$ para encontrar $$a_m=b_m+a+bm+cm^2$

establece $$4n-3=a_n-a_{n-1}=b_n-b_{n-1}+b+c(2n-1)=b_n-b_{n-1}+2c(n)+b-c$ para que $2c=4,b-c=-3\iff c=b+3$

Answer 4

Esto es, para $n=100$ , $ s (n) = \ sum_ {k = 1} ^ nk (2k-1) = \ sum_ {k = 1} ^ n (2k ^ 2-k) = 2 \ sum_ {k = 1} ^ nk ^ 2 - \ sum_ {k = 1} ^ nk $ .

Enchufe las fórmulas para las sumas y listo.

Answer 5

A través de la generación de funciones encontramos la de generación de función para cada término y luego sumarlos. Voy a construir desde la base. Puede parecer demasiado complicado, pero también no requieren recordar demasiadas identidades especiales. Nuestro objetivo es encontrar a $S_{99}$ donde

\begin{align*} S_m = \sum_{n=0}^{m} a_n \end{align*}

donde

\begin{align*} a_0 &= 1 \\ a_n &= (n + 1)(2n + 1) \\ &= a_{n-1} + 4n + 1 \end{align*}

Ahora a buscar la generación de la función de nuestro $a_n$ encontramos

\begin{align*} A(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \\ A(x) - a(0) &= \sum_{n=1}^{\infty} (a_{n-1} + 4n + 1) x^n \\ A(x) - 1 &= \sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1}x^n + \sum_{n=1}^{\infty} (4n +1) x^n \\ A(x) - 1 &= x\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^n + (\sum_{n=0}^{\infty} (4n +1) x^n) - (4*0 + 1) \\ A(x) &= xA(x) + (4\frac{x}{(x - 1)^2} + \frac{1}{x-1}) \\ (1 - x)A(x) &= \frac{4x + (1 - x)}{(1 - x)^2} \\ A(x) &= \frac{3x + 1}{(1 - x)^3} \end{align*}

Suma de todos ellos es bastante fácil, ya que $S_0 = 0$:

\begin{align*} S(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} S_n x^n \\ S(x) - S(0) &= \sum_{n=1}^{\infty} (S_{n - 1} + [y^n]A(y)) x^n \\ (1 - x)S(x) &= A(x) \\ S(x) &= \frac{3x + 1}{(1 - x)^4} \end{align*}

Ahora queremos encontrar el coeficiente de $S(x)$ \begin{align*} [x^n]S(x) &= [x^n]\frac{3x + 1}{(1 - x)^4} \\ &= [x^n]\left(3x + 1\right) \sum_{n=0}^{\infty}\binom{n + 3}{3}x^n \tag{1} \\ &= \left(3[x^{n-1}] + [x^n]\right) \sum_{n=0}^{\infty}\binom{n + 3}{3}x^n \tag{2}\\ &= 3\binom{n+2}{3} + \binom{n+3}{3}\\ &= \frac{1}{2}(n+2)(n+1)n + \frac{1}{6}(n+3)(n+2)(n+1) \end{align*}

• En (1) podemos utilizar el binomio de la serie representación

• En (2) utilizamos la linealidad del coeficiente de operador y $[x^n]x^kS(x)=[x^{n-k}]S(x)$.

Por último, conectar $n = 99$: $\frac{1}{2}*101*100*99 + \frac{1}{6}*102*101*100 = 671 650$