Si $f(x)=\int_{0}^{x}\sqrt{f(t)}\,dt$ entonces $f(6)$ ¿lo es?

Question

deje $f:[0,\infty) \rightarrow[0,\infty]$ sea continua en $[0,\infty]$ y diferenciable en $(0,\infty)$ . si $f(x)=\int_{0}^{x}\sqrt{f(t)}dt$ entonces $f(6)$ ¿es?

$f(0)=0$

$f'(x)=\sqrt{f(x)}\implies f'(6)=\sqrt{f(6)}\implies f'(6)^2=f(6)$

Ahora estoy intentando averiguar $f'(6) $ de alguna manera

$f'(6)=\lim_{x \rightarrow 6}\dfrac{f(x)-f(6)}{x-6}=\lim_{x \rightarrow 6}\dfrac{f(x)-f'(6)^2}{x-6}$

$f'(0)=\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}$

Me estoy perdiendo algo y no soy capaz de resolver este problema por los pasos anteriores. ¿Algún consejo?

Answer 1

Supongamos que $f(x) = 0$ para algunos $x \in (0,\infty)$ . Entonces, $f$ es la integral de una función no negativa de $0$ a $x$ Esto obliga a $f(y) = 0$ para todos $y \leq x$ .

Al contrario, $f$ siendo la integral de una función no negativa es creciente. Por lo tanto, si $x^* = \inf\{y : f(y) = 0\}$ entonces $f$ es positivo más allá de $x^*$ y cero antes (e incluyendo) ese punto.

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PUNTO CLAVE : Una vez $f$ se demuestra que es positiva, también lo es la raíz cuadrada, y por tanto la derivada existe ya que podemos dividir por $\sqrt f$ .

Desde $f' = \sqrt f$ , $f'$ es diferenciable en $(x^*,\infty)$ (y positiva en este intervalo, ya que estamos considerando la raíz cuadrada positiva), con $f'' = (\sqrt f)' = \frac{1}{2\sqrt f} \times f' = \frac 12$ en todas partes en $(x^*,\infty)$ . Tenga en cuenta que $f''(x^*) = 0$ , del hecho de que $f'$ es cero en $[0,x^*]$ .

Así, $f''$ es constante en $(x^*,\infty)$ e igual a $\frac 12$ Podemos resolver esta ecuación y obtener $f''$ como alguna cuadrática en este intervalo, ya que $f '' = \frac 12 \implies f = \frac{x^2}{4} + c_1x+c_2$ con las condiciones en $x^*$ . Puede encontrar lo que $c_1,c_2$ son.

Así, si $f$ es como la anterior, entonces podemos caracterizar $f$ como $0$ hasta algunos $x^*$ y luego la cuadrática que obtuvimos antes. En particular, $f(6)$ no toma un svalue, sino un rango de valores dependiendo de qué $f$ a la que nos referimos. Estoy seguro de que a partir de aquí podrá deducir el rango exacto de valores en el que se encuentra.

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Para completar, añado la solución : Para cualquier $x^*$ la función $f_{x^*}(x) = \mathbf 1_{x > x^*} \frac{(x-x^*)^2}{4}$ satisface las condiciones dadas. A la inversa, cualquier función que satisfaga las condiciones dadas debe ser de esta forma.

A partir de aquí, se ve que $f(6)$ puede tomar cualquiera de los valores $\mathbf 1_{6 > x^*} \frac{(6-x^*)^2}{4}$ de donde el carácter decreciente de esta función en $x^*$ da como respuesta $f(6) \in [0,9]$ . Tenga en cuenta que si $x^* = 0$ entonces $f(6) = 9$ que es la respuesta "estándar" bajo el error común de no darse cuenta de que $f$ debe ser positivo para $\sqrt f$ sea invertible.

Answer 2

Supongamos que $f(x) > 0$ . Tras la diferenciación, tenemos $y' = \sqrt{y} $ donde $y=f(x)$ . Tenemos $\int \frac{dy }{y^{1/2}} = x + C $ . Así $2 \sqrt{y} = x + C $ Y $C=0$ como $f(0)=0$ . Así, $y = \frac{x^2}{4}$ . De ello se deduce que $f(6) = 9$

Añadido: Véanse los comentarios de Clement C más abajo para encontrar soluciones más rigurosas cuando $f(x) > 0$ no se presupone.

Answer 3

Un método alternativo (el caso $f=0$ es trivial; véase el comentario de @ClementC para ligeras variaciones de esta respuesta donde $f>0$ no se asume para $x>0$ ):

Usted ya sabe $f’(x)=\sqrt{f(x)}$ . Dado que la composición de funciones diferenciales es diferenciable (aquí es donde utilizamos el hecho de que $f(x)>0$ para $x>0$ ), deducimos que $f’’(x)=\frac12$ . Integrando una vez, obtenemos $f’(x)=\frac{x}{2}+C$ y utilizando el hecho de que $f(0)=0$ podemos ver que $f’(0)=0$ que significa $C=0$ . Integrando una vez más y utilizando el valor inicial, tenemos $$f(x)=\frac{x^2}{4}.$$