Encontrar todas las funciones continuas tales que$\int_0^xf(t)dt=(f(x))^2+C $

Question

$C$ es una constante. La FTC muestra que $f(x)^2+C$ debe ser diferenciable, lo que significa que $f(x)^2$ es diferenciable. Pero no sabemos que $f(x)$ es diferenciable entonces, a la derecha? Yo tenía la idea de que las únicas dos soluciones se $f(x)=0$ o $f(x)=\frac{x}{2}$, pero esto es suponiendo que $f(x)$ es diferenciable. No estoy seguro de cómo demostrar que son las únicas soluciones (si es que son las únicas soluciones).

Answer 1

Si la ecuación en el título es verdadera, y $f$ es diferenciable, podemos tomar la derivada con respecto a $x$ de ambos lados. $$\frac d{dx}\int_0^x f(t) dt=f(x)$$ and $$\frac d{dx}(f^2(x)+C)=2f(x)f'(x)$$ Then:$$f(x)=2f(x)f'(x)$$ This has solutions $ f (x) = 0$ or $ f '(x) = \ frac 12 $. The second one you can integrate and get $ f (x) = \ frac x2 + c$. You just need to show if any $ c$ is OK, or only $ c = 0 $ .

Answer 2

Deje $g(x)=f(x)^2$. A continuación, $g'(x)=f(x)$ e $g(x)=[g'(x)]^2$, es decir, $\sqrt{y}=|\frac{dy}{dx}|$. Esta ecuación diferencial se puede resolver por separación de variables. De $\pm dx=\frac{dy}{\sqrt{y}}$ , obtenemos $\pm x=2\sqrt{y} + A$, donde $A \in \mathbb{R}$ es una constante arbitraria, y por lo tanto, $g(x)=y=(\frac{\pm x-A}{2})^2$ o $g(x)=y=0$. Por lo tanto, $|f(x)|=|\frac{\pm x-A}{2}|$ o $f(x)=0$.