Si $p,q$ son primos distintos y $a$ no es divisible por $p$ o $q$ entonces $\gcd(a, pq)=1$

Question

Si $p,q$ son primos distintos y $a$ no es divisible por $p$ o $q$ entonces $\gcd(a, pq)=1$ .

Quiero mostrar esto usando combinaciones lineales, de manera que una combinación lineal de $a$ y $py$ dará $1$ . Así que para algunos $x,y,x',y'$ :

$ax+py = 1 = ax'+qy'$ y

$a(x-x')+py-qy'=1-ax'-qy'$ .

No estoy seguro de a dónde ir desde aquí. Se agradecen los consejos.

Answer 1

Si $a$ no es divisible por $p$ o $q$ entonces efectivamente existen enteros $x$ , $x'$ , $y$ y $y'$ tal que $$ax+py=1\qquad\text{ and }\qquad ax'+qy'=1.$$ Ahora aísla $py$ de la primera y $qy'$ de la segunda ecuación, y multiplica los dos resultados. ¿Puedes terminar desde aquí?

Answer 2

$ax+py = 1$ y $ ax'+qy'=1$ . Reordenando, tenemos $py = 1-ax$ y $qy'=1-ax'$ . Multiplicando, obtenemos $$pyqy'=(1-ax)(1-ax')=1-a (x+x')+a^2xx'.$$

Por lo tanto, $$pq(yy')+a (x+x'-axx')=1. $$