Para dar un poco de contexto para esta pregunta, recientemente se demostró que para una adecuada función de $f(x)$ la siguiente identidad tiene
$$\sum_{k=0}^{\infty}f'(k)=-2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f'(n)}{e^{2\pi n}-1}$$
Los criterios de idoneidad de la función $f(x)$ esencialmente se reduce a dos factores principales. En primer lugar, $f(x)$ debe poseer un poder de expansión de la serie de la forma
$$f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_k x^{4k+2}$$
tal la serie
$$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\vert{a_k}\vert}{(2\pi)^{4k}}(4k+2)! < \infty$$
En segundo lugar, debemos tener $f(x) \to 0$ como $x \to \infty$.
Después de probar esto, yo quería encontrar un ejemplo específico de lo que yo podría calcular de la serie para asegurar la identidad de la que realmente tiene y no me acaba de hacer algún error en mi prueba. Yo no creo que esto sería muy difícil de una tarea, pero frustrante no he sido capaz de llegar con un solo ejemplo!
Mi primer pensamiento fue para probar algo de Bessel-como $J_v(x) \to 0$ como $x \to \infty$. A lo largo de estas líneas me di la más sensata, la función de inicio fue la de Wright función de $z^2\phi(4,3,-z^4)$ donde
$$\phi(\alpha,\beta,z) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!\Gamma(\alpha n + \beta)}$$
así que
$$z^2\phi(4,3,-z^4) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!(4n+2)!}z^{4n+2}$$
Por desgracia, rápidamente me di cuenta del hecho de que la asymptotics de la más general de las funciones hipergeométricas puede llegar a ser bastante complicado. Más específicamente, para mis necesidades, $z^2\phi(4,3,-z^4)$ no va a la $0$ como $z \to \infty$. Este papel le da la asymptotics para el correcto funcionamiento.
Me pregunto, ¿alguien tiene alguna sugerencia sobre la construcción de una función con mis propiedades deseadas? O mostrando que esa función no existe?
