Ejemplos de espacios de puertas conectados.

Question

Un espacio topológico $X$ es una puerta espacio si cualquier subconjunto de a$X$ está abierto o cerrado (o ambos). Naturalmente, la conexión de un espacio al aire libre es aquella en la que cualquier subconjunto es cerrada o abierta, pero no tanto. De acuerdo a este documento, sólo hay tres tipos de topologías producido por conectadas puerta espacios: particular punto de topologías, excluidos de punto de topologías, y $T_1$ topologías en las que cualquiera de los dos no disjuntos abrir los conjuntos infinitos intersección.

¿Hay algún ejemplo claro de la conexión de un espacio de la puerta del tercer tipo? El cofinite la topología en cualquier conjunto infinito satisface el tercer tipo, pero nunca es una puerta espacio, y realmente no puedo pensar en los espacios en que se abren las intersecciones son infinitas...

Answer 1

Deje $X$ ser un conjunto infinito y (utilizando una forma leve de la elección) $\mathcal{F}$ libre de ultrafilter en $X$.

Deje $\mathcal{T}=\{\emptyset\} \cup \mathcal{F}$, que es una topología en $X$: de los sindicatos a seguir, desde closedness bajo ampliaciones, finito intersecciones a seguir, desde el filtro de axiomas así, y hemos añadido el conjunto vacío de forma explícita. Que cualquiera de los dos no está vacío abierto conjuntos se cruzan también es un filtro axioma ($\emptyset \notin \mathcal{F})$.

Es bien sabido que para todos los subconjuntos de a$A$ de $X$ bien $A$ o su complemento es en $\mathcal{F}$ (este es un clásico de ultrafilter de la propiedad). Esto implica que $X$ es $T_1$ ( como el de ultrafilter es gratuito que contiene todos los cofinite conjuntos) y que es una puerta de espacio.

Esta construcción nos da un montón de no-homeomórficos espacios, ya que hay muchos de los llamados tipos de ultrafilters; Véase teoría de conjuntos para más información sobre esto.