Deje $T\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ lineal transformación de $\mathbb{R}$ define como $Tx:=ax+b$, donde $a,b\in\mathbb{R}$, $a\ne 0.$ Queremos mostrar a la invariancia de las traducciones de la medida de Lebesgue utilizando el siguiente resultado.
Teorema. Para todos los $E\subseteq\mathbb{R}$ tenemos $\lambda^*(T(E))=|a|\lambda^*(E);$
La notación. $\lambda^*$ es el Lebesgue exterior de la medida, que es $$\lambda^*(E):=\inf\bigg\{\sum_{n=1}^{+\infty}\lambda_0(I_k)\;\bigg|\;\{I_n\}\subseteq\mathcal{I},E\subseteq\bigcup_{n=1}^{+\infty}I_n\bigg\},$$ where $\mathcal{I}$ is the algebra of plurintervals and $\lambda_0\colon\mathcal{I}\a [0,+\infty]$ is a measure definited as following: let $$\mathcal{I}_0=\{(a,b]\;|\;-\infty\le a\le b<+\infty)\}\cup\{(a,+\infty)\;|a\in\mathbb{R}\},$$ la familia $\mathcal{I}$ consiste de lo finito distinto de los sindicatos de los elementos de $\mathcal{I}_0,$luego \begin{cases} \lambda_0(\emptyset):=0 \\ \lambda_0((a,b]):=b-a & \text{if %#%#%}\\ \lambda_0((a,+\infty)):=+\infty &\text{if %#%#%} \end{casos} Por otra parte, si $-\infty<a\le b<+\infty$ $a\in\mathbb{R}.$$E\in\mathcal{I}\setminus\mathcal{I}_0$\{E_k\}_{k=1}^{n}\subseteq\mathcal{I}_0$$\lambda_0(E):=\sum_{k=1}^{n}\lambda_0(E_k)$E=\bigcup_{k=1}^{n}E_k.$ $ where $ es el Lebesgue s $ and $álgebra.
Prueba. Consideramos que las transformaciones lineales en $\mathcal{L}$: $\sigma-$$ Observamos que en las $\mathbb{R}$ es la composición de $$T_1x:=\frac{a}{|a|}x,\quad T_2x:=|a|x,\quad T_3x:=x+b.$ e $T$. De hecho vamos a $T_1,T_2$, $T_3$$ Empezamos a probar que $x\in\mathbb{R}$
$$T_3T_2T_1x=T_3T_2\bigg(\frac{a}{|a|}x\bigg)=T_3(ax)=ax+b.$ Deje $\lambda^*(T_3(E))=\lambda^*(E).$ , a Continuación, para $(a)$ existe $\lambda^*(E)<+\infty.$ tales que $\varepsilon>0$$\{I_k\}_{k\in\mathbb{N}}$$$E\subseteq\bigcup_{k=1}^{+\infty} I_k\quad\lambda^*(E)+\varepsilon > \sum_{k=1}^{+\infty}\lambda_0(I_k).$$por lo Tanto, $ Then $$ En el rojo de la igualdad hemos utilizado el hecho de que la definición de los $T_3(E)\subseteq T_3\big(\bigcup_{k=1}^{+\infty} I_k\big)=\bigcup_{k=1}^{+\infty} T_3(I_k).$ es invariante para la transformación de tipo $$\lambda^*(T_3(E))\le\sum_{k=1}^{+\infty}\lambda_0(T_3(I_k))\color{RED}{=}\sum_{k=1}^{+\infty}\lambda_0(I_k)<\lambda^*(E)+\varepsilon.$. Entonces, por la arbitrariedad de $\lambda_0$ tenemos que $T_3$
Pregunta 1. ¿Cómo puedo demostrar que $\varepsilon$?
$\lambda^*(T_3(E))\le\lambda^*(E).$ Deje $\lambda^*(T_3(E))\ge\lambda^*(E)$. Supongamos por absurdo que $(b)$, entonces existe $\lambda^*(E)=+\infty$ tales que $\lambda^*(T_3(E))<+\infty$$\{I'_k\}_{k\in\mathbb{N}}\subseteq\mathcal{I}$E\subseteq\bigcup_{k=1}^{+\infty}\big[T_3^{-1}(I'_k)\big]$ tenemos $$T_3(E)\subseteq\bigcup_{k=1}^{+\infty}I'_k,\quad\sum_{k=1}^{+\infty}\lambda_0(I'_k)<\lambda^*(T_3(E))+\varepsilon<+\infty.$$ absurdo.
Pregunta 2. ¿Por qué es la igualdad en verde es válido?
$ Since $$
Pregunta 3. ¿Cómo puedo formalmente muestran que $$\lambda^*(E)\le\sum_{k=1}^{+\infty}\lambda_0(T_3^{-1}(I'_k))\color{GREEN}{=}\sum_{k=1}^{+\infty}\lambda_0(I'_k)<+\infty,$ es invariante por transformaciones del tipo $$$?
De la misma manera se muestra que $\lambda_0$ e $T_1, T_2, T_3$ por lo Tanto \begin{equation} \begin{split} \lambda^*(T(E))=&\lambda^*(T_3(T_2(T_1(E))\\ =&\lambda^*(T_2(T_1(E))\\ =&\lambda^*(T_1(E))\\ =&|a|\lambda^*(E) \end{split} \end{equation}
Pregunta 4. ¿Es cierto o falso que $\lambda^*(T_2(E))=|a|\lambda^*(E)$? ¿Cómo puedo mostrar? Mi respuesta es falsa, pero $\lambda^*(T_1(E))=\lambda^*(E).$$\lambda^*(T^{-1}(E))=|a|\lambda^*(E)$\lambda^*\big(T^{-1}\big(E\)\big)=\frac{1}{|c|}\lambda^*(E).$ La correcta?
Aclaraciones sobre la respuesta
Gracias por la ansewer @астон вілла олоф мэллбэрг pero algunas dudas que me quedan. Mi libro dice proceder de esta manera $$\lambda^*(E)=\lambda^*\big(T\big[T^{-1}(E)\big]\big)=|a|\lambda^*\big(T^{-1}\big(E\big)\big).$, $ Therefore $, $\lambda^*(T_1(E))=\lambda^*(E)$ Usted me explicó que si $\lambda^*(T_2(E))=|a|\lambda^*(E)$, a continuación, $\lambda^*(T_3(E))=\lambda^*(E).$además $I\in\mathcal{I}$ es invariante bajo $T_3(I)\in\mathcal{I}$, luego está demostrado que el $\lambda_0$ ¿cómo puedo demostrar que $T_3$$\lambda^*(T_3(E))\le\lambda^*(E),$\lambda^*(T_2(E))=|a|\lambda^*(E)$$\lambda^*(T_3(E))\ge\lambda^*(E)?$\lambda_0.$ The same procedure can lead to show that $T_1(I)\notin\mathcal{I}$, with the necessary changes about $\lambda^*(T_1(E))=\lambda^*(E)?$ Since $\lambda^*(T(E))=\lambda^*(E)$? Gracias! Gracias!
