Sobre la definición de funciones de Schwartz.

Question

$$ \ mathcal {S} (\ mathbb {R} ^ {n}) = \ Big \ {f \ en C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {n}) \, \ Big | \; \ sup _ {\ mathbb {R} ^ {n}} | x ^ {\ alpha} D ^ {\ beta} f (x) | <\ infty \, \ forall \ alpha, \ beta \, \ text {múltiples índices }\Grande\}. $$ No puedo encontrar por qué es necesaria la condición derivada; ¿Me puede dar un ejemplo de una función tal que $\sup_{\mathbb{R}^{n}}|x^{\alpha}f(x)| < \infty \,\forall \alpha \,\text{multi index}$ pero exista $\beta$ tal que $\sup_{\mathbb{R}^{n}}|x^{\alpha}D^{\beta}f(x)|=\infty$ ?

Answer 1

Puede tomar $$ f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} \, , \, f(x) = \cos\left(\mathrm{e}^{2 x^2}\right) \mathrm{e}^{-x^2} \, ,$ $ y $\beta = 1$ .