Cuatro círculos iguales se cruzan: ¿Cuál es el área de la parte pequeña sombreada y su altura

Question

En términos de $R$ que es el radio de los cuatro círculos, ¿cuál es el área de la región de intersección de estos cuatro círculos iguales y la altura de la flecha marcada en la figura? La flecha marcada está a lo largo de la línea CD, también el punto medio de todos los círculos son los puntos A, B, C y D. Busco una solución intuitiva muy corta. He revisado preguntas similares en este sitio por ejemplo este y este .

Answer 1

Obsérvese que el área del triángulo equilátero con arista $R$ más $\frac12$ el área de la región sombreada es $\frac16$ el área del círculo. La altura del triángulo es $\frac{R\sqrt3}{2}$ y el área es $\frac12\cdot R\cdot\frac{R\sqrt3}{2}=\frac{R^2\sqrt3}{4}$ . El área de la región sombreada es: $$2\left(\frac{\pi R^2}{6}-\frac{R^2\sqrt3}{4}\right)=\frac{2\pi R^2}{6}-\frac{3R^2\sqrt3}{6}=\frac{R^2(2\pi-3\sqrt3)}{6}$$ Observe también que la altura del triángulo más $\frac12$ la altura del área sombreada es igual al radio del círculo. La altura del área sombreada es: $$2\left(R-\frac{R\sqrt3}{2}\right)=2R-R\sqrt3=R(2-\sqrt3)$$

Answer 2

Si se repite este patrón infinitamente, se encontrará que cada círculo está formado por $12$ de estas zonas (¡americanas!) con forma de fútbol, junto con $6$ zonas "triangulares" en medio (véase el círculo rojo en la figura). Así, fijando el área de los balones en $A$ y la de los triángulos a $B$ tenemos:

$\pi=12A +6B$ (Estoy fijando el radio en $1$ ... se puede ajustar fácilmente para $R$ )

Bien, consideremos ahora el rectángulo verde formado por cuatro de los puntos de un círculo. Vemos que la altura de dicho rectángulo es igual al radio, es decir $1$ y la anchura se encuentra fácilmente para ser $\sqrt{3}$ y esta área incluye $4$ balones enteros, $4$ medios balones de fútbol, $2$ triángulos" enteros, y $4$ medios triángulos. Así que:

$\sqrt{3}=6A+4B$

Ahora puedes resolver fácilmente $A$

Answer 3

$AC=BC=AB=AD=BD=R$ .ahora $AB$ y $CD$ son bisectrices perpendiculares entre sí, digamos en $O$ .entonces $DO^2=AD^2- AO^2= R^2- ({R \over 2})^2$ es decir $DO={ \sqrt{3}R \over 2}$ .entonces $height=2(R- { \sqrt{3}R \over 2})=(2- \sqrt{3})R$ . Ahora bien, si el área sombreada es $∆$ , como $\angle ADB=60°$ , ${∆ \over 2}={πR^2 \over 6}- { \sqrt{3}R^2 \over 4}$ (es el área de $∆ABD$ )por lo que, el área de la región sombreada requerida $∆={2π-3√3 \over 6}R$ .