Encontrar soluciones incompletas del sistema ODE de segundo orden.

Question

Para un liso, 1-periódico, función positiva $c:\mathbb{R}\rightarrow (0,\infty)$ considere el siguiente segundo orden ODE sistema para la curva de $\gamma(t)= (x(t),y(t),z(t)):\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^3$ (tenga en cuenta que voy a denotar la derivada de $c$ con una prima y de los productos derivados de la curva de los componentes de la $x,y,z$ por puntos).

\begin{align} (i) \hspace{15mm} \ddot{x}(t)+ \frac{c'(z(t))}{c(z(t))}~ \dot{x}(t)\dot{z}(t)=0 \\ (ii) \hspace{14mm} \ddot{y}(t) +\frac{c'(z(t))}{c(z(t)))}~\dot{y}(t)\dot{z}(t)=0 \\ (iii) \hspace{16mm} \ddot{z}(t)-c'(z(t)) ~ \dot{x}(t)\dot{y}(t)=0 \end{align}

Mi pregunta: estoy interesado en encontrar una función $c$ como se describió anteriormente que el sistema ha "incompleto" de soluciones, es decir, las soluciones de $\gamma:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^3$ que no están definidas para todos los tiempos $t\in\mathbb{R}$. O, alternativamente, quiero demostrar que para todos los $c$ como arriba no hay soluciones incompletas.

Fondo: el fondo de este problema es un geométricas uno: tengo una familia de métricas $\{g_c\}$ dado en $\mathbb{R}^3$ (donde $c$ es como se describió anteriormente) y me pregunto si todas esas medidas son geodasically completa. La solución de la ecuación geodésica para las métricas da el anterior sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Answer 1

El sistema de ecuaciones tiene las siguientes integrales: $$c(z)^2\left(\dot x^2+\dot y^2\right)=I_1=const$$ $$c(z)\left(y\dot x-x\dot y\right)=I_2=const$$ Si $c_{MIN}<c(z)<c_{MAX}$, a continuación, $\dot x$ e $\dot y$ son los siguientes: $$|\dot x|<\frac{\sqrt{I_1}}{c_{MIN}}$$ $$|\dot y|<\frac{\sqrt{I_1}}{c_{MIN}}$$ Suponiendo que $c'(z)$ es un almacén de función suave, $\ddot z(t)$ es también limitada. Esto significa que no hay ninguna singular soluciones (que $x$, $y$ o $z$ alcanzar el infinito para finitos $t$). También, la existencia teorema garantiza la existencia de solución para el problema de valor inicial en el vecindario de cada $t=t_0$, por lo que no hay soluciones incompletas.