Quiero demostrar que $$\sum_{n = 0}^\infty (-1)^n \left [\frac{2n + 1/2}{(2n + 1/2)^2 + 1} + \frac{2n + 3/2}{(2n + 3/2)^2 + 1} \right] = \frac{\pi}{\sqrt{2}} \frac{\cosh \left (\frac{\pi}{2} \right )}{\cosh (\pi)}.$$
La razón por la que el deseo de encontrar una suma es la siguiente. La pregunta aquí llamado para la evaluación (he añadido su valor) de $$\int_0^\infty \frac{\sqrt{x} \cos (\ln x)}{x^2 + 1} \, dx = \frac{\pi}{\sqrt{2}} \frac{\cosh \left (\frac{\pi}{2} \right )}{\cosh (\pi)}.$$
Como uno de los comentarios, el OP comentó que les gustaría ver diferentes enfoques para la evaluación de la integral así que pensé que iba a probar mi mano en uno que no se basa en el contorno de la integración y el teorema de los residuos. Mi planteamiento era el siguiente: \begin{align} \int_0^\infty \frac{\sqrt{x} \cos (\ln x)}{x^2 + 1} \, dx &= \int_0^1 \frac{\sqrt{x} \cos (\ln x)}{x^2 + 1} \, dx + \int_1^\infty \frac{\sqrt{x} \cos (\ln x)}{x^2 + 1} \, dx\\ &= \int_0^1 \frac{\cos (\ln x) (x + 1)}{\sqrt{x} (1 + x^2)} \, dx, \end{align} después de una sustitución de $x \mapsto 1/x$ ha sido ejecutada en la segunda de las integrales. Ahora bien, si aplicamos una sustitución de $x \mapsto e^{-x}$ uno llega a $$\int_0^\infty \frac{\sqrt{x} \cos (\ln x)}{x^2 + 1} \, dx = \int_0^\infty \frac{\cos x \cosh (x/2)}{\cosh x} \, dx.$$ La escritura de las funciones hiperbólicas en términos de exponenciales tenemos \begin{align} \int_0^\infty \frac{\sqrt{x} \cos (\ln x)}{x^2 + 1} \, dx &= \int_0^\infty \frac{\cos x (e^{-x/2} + e^{-3x/2})}{1 + e^{-2x}} \, dx\\ &= \text{Re} \sum_{n = 0}^\infty (-1)^n \int_0^\infty \left [e^{-(2n + 1/2 - i) x} + e^{-(2n + 3/2 - i)x} \right ] \, dx\\ &= \text{Re} \sum_{n = 0}^\infty (-1)^n \left [\frac{1}{2n + 1/2 - i} + \frac{1}{2n + 3/2 - i} \right ] \tag1\\ &= \sum_{n = 0}^\infty (-1)^n \left [\frac{2n + 1/2}{(2n + 1/2)^2 + 1} + \frac{2n + 3/2}{(2n + 3/2)^2 + 1} \right], \end{align} lo que me lleva a mi suma.
Algunos pensamientos en la búsqueda de esta suma
La reescritura de la suma de $S$ (1) de la siguiente manera: \begin{align} S &= \text{Re} \cdot \frac{1}{4} \sum_{n = 0}^\infty \left [\frac{1}{n + 1/8 - i/4} + \frac{1}{n + 3/8 - i/4} - \frac{1}{n + 5/8 - i/4} - \frac{1}{n + 7/8 - i/4} \right ]\\ &= \text{Re} \cdot \frac{1}{4} \sum_{n = 0}^\infty \left (\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 7/8 - i/4} \right ) + \frac{1}{4} \sum_{n = 0}^\infty \left (\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 5/8 - i/4} \right )\\ & \qquad - \frac{1}{4} \sum_{n = 0}^\infty \left (\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 3/8 - i/4} \right ) - \frac{1}{4} \sum_{n = 0}^\infty \left (\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 1/8 - i/4} \right )\\ &= \frac{1}{4} \text{Re} \left [\psi \left (\frac{7}{8} - \frac{i}{4} \right ) + \psi \left (\frac{5}{8} - \frac{i}{4} \right ) - \psi \left (\frac{3}{8} - \frac{i}{4} \right ) - \psi \left (\frac{1}{8} - \frac{i}{4} \right ) \right ]. \end{align} Aquí $\psi (z)$ es la función digamma. Yo era más bien la esperanza de utilizar la reflexión de la fórmula para la función digamma, pero por desgracia no parece que me lleve más cerca de un final real de la solución.
Pensamiento Final
Aunque sería agradable ver cómo evaluar esta suma, tal vez mi enfoque no era la mejor manera de métodos alternativos para evaluar la integral que evite esta suma y no se basan en el contorno de integración también serán bienvenidos.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
$$
\begin{align}\newcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
&\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\left[\frac{2n+1/2}{(2n+1/2)^2+1}+\frac{2n+3/2}{(2n+3/2)^2+1}\right]\tag1\\
&=\frac12\sum_{n\in\mathbb{Z}}(-1)^n\left[\frac{2n+1/2}{(2n+1/2)^2+1}+\frac{2n+3/2}{(2n+3/2)^2+1}\right]\tag2\\
&=\frac14\sum_{n\in\mathbb{Z}}(-1)^n\left[\frac{n+\frac14}{\left(n+\frac14\right)^2+\frac14}+\frac{n+\frac34}{\left(n+\frac34\right)^2+\frac14}\right]\tag3\\
&=\frac18\sum_{n\in\mathbb{Z}}(-1)^n\left[\frac1{n+\frac14-\frac i2}+\frac1{n+\frac14+\frac i2}+\frac1{n+\frac34-\frac i2}+\frac1{n+\frac34+\frac i2}\right]\tag4\\
&=\frac18\left[\frac\pi{\sin\left(\pi\!\left(\frac14-\frac i2\right)\right)}+\frac\pi{\sin\left(\pi\!\left(\frac14+\frac i2\right)\right)}+\frac\pi{\sin\left(\pi\!\left(\frac34-\frac i2\right)\right)}+\frac\pi{\sin\left(\pi\!\left(\frac34+\frac i2\right)\right)}\right]\tag5\\
&=\frac{\pi\sqrt2}8\left[
\frac{\cosh\left(\frac\pi2\right)+i\sinh\left(\frac\pi2\right)}{\cosh(\pi)}+
\frac{\cosh\left(\frac\pi2\right)-i\sinh\left(\frac\pi2\right)}{\cosh(\pi)}+
\frac{\cosh\left(\frac\pi2\right)-i\sinh\left(\frac\pi2\right)}{\cosh(\pi)}\right.\\
&\left.\phantom{=\frac{\pi\sqrt2}8}+
\frac{\cosh\left(\frac\pi2\right)+i\sinh\left(\frac\pi2\right)}{\cosh(\pi)}\right]\tag6\\
&=\frac\pi{\sqrt2}\frac{\cosh(\pi/2)}{\cosh(\pi)}\tag7
\end{align}
$$
Explicación:
$(2)$: el uso de la simetría
$(3)$: factor de atracción de $\frac12$ frente
$(4)$: fracciones parciales
$(5)$: el uso de $(3)$ a partir de esta respuesta
$(6)$: evaluar el seno de un número complejo
$(7)$: simplificar
