Arnold Trivium Problema 39

Question

Nos encontramos en Arnold Trivium el siguiente problema, numeradas 39. (La integral doble debe tener un círculo a través de él, pero el comando /oiint no funciona aquí.)

Calcular la integral de Gauss

$$\int \int \frac {d\vec a, d\vec B, \vec-\vec B)}{|\vec-\vec B|^3},$$

donde $\vec A$ corre a lo largo de la curva $x=\cos \alpha$, $y=\sin \alpha$, $z=0$, e $\vec B$ a lo largo de la curva de $x=2\cos^2 \beta$, $y=(1/2)\pecado \beta$, $z=\pecado 2\beta$.

Primero, qué es exactamente lo que se pregunta aquí? Parece que estamos ante un producto interior en la integral, excepto existen tres argumentos. No estoy seguro de qué hacer con esto, la notación es desconocida para mí. Y supongo que a $\alpha$ $\beta$ independientemente de ejecución de$0$$2\pi$?

Segundo, ¿cómo se soluciona esto?

Actualización: David H. informes de que los tres-el lugar de función es probablemente el triple producto vectorial. "Más probable que representa el triple producto vectorial. Esta es la integral se debe evaluar para calcular la fuerza magnética entre dos de transporte de corriente de los cables." Esta interpretación tiene sentido, debido a que estos problemas son dirigidas a estudiantes de física.

Answer 1

Esto es de Gauss Vinculación de Número de la Fórmula, por dos curvas en el espacio $\vec{A}, \vec{B}: S^1 \to \mathbb{R}^3$

$$ \textrm{link}(A,B) = \oint_A \oint_B \frac{\vec{A}-\vec{B}}{|\vec{A}-\vec{B}|^3} \cdot (d\vec{A} \times d\vec{B})$$

In our case, $\vec{A}(t) = (\cos t, \sen t, 0)$ and $\vec{B}(t) = ( 1+ \cos 2t, \frac{1}{2}\sen t, \sen 2t)$ . How to picture these two curves:

• $\vec{A}(t)$ represents a unit circle in the $xy$ plane centered at the origin $(0,0,0)$.

• $\vec{B}(t)$ es más difícil de visualizar, pero podemos observar un par de cosas:

  • proyectos informáticos de un círculo centrado en $(1,0)$ $xz$ plano
  • el $y$-coordinar $|B_2(t)| = |\frac{1}{2} \sin t| \leq \frac{1}{2}$.

Desde el Gauss vinculación número es un invariante topológico, se puede deformar el círculo de $\vec{A}$ a de la línea recta $\{(1,t,0): t \in \mathbb{R}\} $ (o, alternativamente, se deforman $\vec{B}$ a la doble círculo de $\vec{B}(t) = ( 1+ \cos 2t, \frac{1}{2}\sin t, \sin 2t)$) y, a continuación, es fácil comprobar la vinculación de la número 2 y la integral es $\color{#F76760}{\mathbf{8\pi}}$

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Si tuviéramos que calcular la integral directamente, parece bastante agotadora para el uso de la triple producto fórmula $a \cdot (b \times c)$ directamente y vadear a través de todos los integrales. En lugar de eso me iba a presentar a la familia de los círculos:

$$ \vec{A}(s,t) = (s\cos t - s + 1, s\sin t, 0)\text{ with } s\to \infty$$

or instead $\vec{B}(s,t) = ( 1+ \cos 2t, \frac{s}{2}\sen t, \sen 2t)$ with $s \a 0$.

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CODE Here is the Python script which I used to check the Gauss Linking number formula:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

N = 100
ds, dt = 1.0/N, 1.0/N


tot = 0

for s in 2*np.pi*np.arange(0,1,dt):

    for t in s + 2*np.pi*np.arange(0,1,ds):

        A  = np.array([np.cos(s), np.sin(s), 0*s])
        B  = np.array([1 + np.cos(2*t), 0.5*np.sin(t),   np.sin(2*t)])

        dA = np.array([ -1*np.sin(s),       np.cos(s), 0*s])*ds*2*np.pi
        dB = np.array([ -2*np.sin(2*t), 0.5*np.cos(t), 2*np.cos(2*t)])*dt*2*np.pi

        X  = np.cross(dA,dB)
        Y  = (A -B)/np.sum((A -B)**2)**1.5

        tot += np.sum(X*Y)

tot/np.pi

Getting an answer of -8.0000000011873595 $ = \frac{1}{\pi}\int \dots$

Answer 2

Aquí estoy de interpretarla como el triple producto escalar.

Tenemos el vector de funciones de $\vec A, \vec B:[0,2\pi] \to \mathbb R^3$, dado por $$ \vec(\alpha) = (\cos\alpha,\sin\alpha,0) \\ \vec B(\beta) = (2\cos^2\beta\tfrac12 \sin\beta\sin(2\beta)) .$$ Creo que se te pide para calcular $$ \int_{\alpha=0}^{2\pi} \int_{\beta=0}^{2\pi} \left[\left(\frac {\partial \vec A}{\partial \alpha}(\alpha) \times \frac {\partial \vec B}{\partial \beta}(\beta) \right) \cdot (\vec A(\alpha) - \vec B(\beta)) \right] \frac1{|\vec A(\alpha) - \vec B(\beta)|^3} \, d\beta \, d\alpha .$$ He utilizado el NIntegrate función en Mathematica, y se informó una respuesta muy cercano a $-8\pi$. Existe una pequeña posibilidad de que esta es una coincidencia!

Parece que esta es la "liquidación" de una curva alrededor de la otra.

Así que supongamos que se tienen dos curvas cerradas $C_1$$C_2$, cada uno de los cuales son los límites de las superficies de $S_1$$S_2$. Supongamos que la curva de $C_2$ nunca se cruza con $S_1$. Entonces puedo afirmar que $$ \oint_{\vec A \in C_1} \oint_{\vec B \in C_2} \frac{((\vec A-\vec B) \times d\vec B) \cdot d\vec A}{|\vec A-\vec B|^3} = 0 .$$ Para ver esto, el intercambio de las dos integrales, y aplicar Stoke Teorema de la integral con respecto a $\vec A$, para obtener $$ \oint_{\vec B \in C_2} \int_{\vec X\in S_1} \text{curl}_{\vec X} \left(\frac{(\vec X-\vec B)\times d\vec B}{|\vec X-\vec B|^3} \right) \cdot \vec\nu(\vec X) \, dA(X) ,$$ donde $\vec\nu(\vec X)$ es la unidad de la normal a la superficie de la $S_1$$\vec X$, e $dA$ es el de la medida de superficie en $S_1$. Utilizando el estándar de cálculo vectorial identidades (y yo podría tener algún signo de errores aquí), se obtiene que $$ \text{curl}_{\vec X} \left(\frac{(\vec X-\vec B)\times d\vec B}{|\vec X-\vec B|^3} \right) = - \text{div}_{\vec X} \left(\frac{\vec X-\vec B}{|\vec X-\vec B|^3} \right) d\vec B + d\vec B \cdot \nabla_{\vec X}\left(\frac{\vec X-\vec B}{|\vec X-\vec B|^3} \right) .$$ El primer término en el lado derecho, se calcula a $0$. Así que después de intercambiar las integrales de nuevo, nos quedamos con $$ \int_{\vec X \in S_1} \left[ \oint_{\vec B \in C_2} d\vec B \cdot \nabla_{\vec X}\left(\frac{\vec X-\vec B}{|\vec X-\vec B|^3} \right)\right] \cdot \vec\nu(\vec X) \, dA(\vec X).$$ El interior de la integral se convierte en $$ - \oint_{\vec B \in C_2} d\vec B \cdot \nabla_{\vec B}\left(\frac{\vec X-\vec B}{|\vec X-\vec B|^3} \right) ,$$ y vemos que cada componente es un camino integral de la gradiente de un escalar, y por lo tanto también es $0$.

Puedo afirmar que en general la respuesta es invariante bajo la suave homotopies de las curvas. Suponga que tiene tres curvas cerradas $C_1$, $\tilde C_1$ y $C_2$ tal que $C_1$ puede ser deformado a $\tilde C_1$ sin cruzar ningún punto de $C_2$. Deje $S_1$ ser la superficie trazada por la deformación de $C_1$$\tilde C_1$. A continuación, utilizando cálculos similares, usted debe conseguir $$ \oint_{\vec \en C_1} \oint_{\vec B \en C_2} \frac{((\vec-\vec B) \times d\vec B) \cdot d\vec Un}{|\vec-\vec B|^3} = \oint_{\vec \en \tilde C_1} \oint_{\vec B \en C_2} \frac{((\vec-\vec B) \times d\vec B) \cdot d\vec Un}{|\vec-\vec B|^3} .$$

Ahora reducir su integral a algunos de los más simples integral, por ejemplo, convirtiéndolo en una de las curvas de una línea recta, y la otra ir dos veces a su alrededor en un círculo perfecto perpendicular a la línea recta y centrada a lo largo de un punto en la línea.

Answer 3

Aquí es 'físico' de derivación de Gauss, la vinculación de número de la fórmula. En contraste con David H el comentario de arriba, voy a hablar en términos de magnético de la circulación más que el campo magnético de la fuerza entre dos de transporte de corriente de los cables.

Supongamos que tengo dos curvas cerradas, con senderos $C_1,C_2$ respectivamente. Podemos generar un campo magnético mediante la ejecución de un uniforme de corriente $I$ a través de $C_1$, que por el Biot-Savart ley es $$\mathbf{B}_{1}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\oint_{C_1}\frac{d\mathbf{l}_1\times (\mathbf{r}-\mathbf{r}_1)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|^3}.$$ The resulting circulation of this magnetic field relative to $C_2$ is $$\oint_{C_2}\mathbf{B}_1(\mathbf{r})\cdot d\mathbf{l}=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\oint_{C_2}\oint_{C_1}\frac{\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1}{|\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1|^3}\cdot (d\mathbf{l}_2\times d\mathbf{l}_1)$$ donde cíclica de la invariancia de la triple producto escalar ha sido utilizado para reorganizar el integrando.

Pero la ley de Ampere nos informa que dicha circulación integral de igualdad de $\mu_0 I_{enc}$ donde $I_{enc}$ es la corriente encerrada por $C_2$; puesto que la corriente es uniforme , esto equivale a $I_{enc}=N_{12} I$ donde $N_{12}$ es la vinculación de número de $C_1$ en relación al $C_2$. La solución para que esta vinculación de número, a continuación, finalmente se da de Gauss fórmula: $$\boxed{N_{12}=\frac{1}{4\pi}\oint_{C_2}\oint_{C_1}\frac{\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1}{|\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1|^3}\cdot (d\mathbf{l}_2\times d\mathbf{l}_1)}$$ Por consiguiente, la integral de hecho, equivale a encontrar la vinculación de número, una tarea que las otras respuestas han elaborado en suficiente detalle.