Evaluar

Question

La pregunta es evaluar$$\int_0^{\pi /2} \frac{ \log (1+\cos a \cos x)}{\cos x} dx$ $

Traté de usar la regla de Leibnitz

$$F'(a)=\int_0^{\pi /2} \frac{ -\sin a}{(1+\cos a \cos x)}dx$$ Now I used the substitution $ \ tan (x / 2) = t$ to get $$-2 \sin a \int_0^1 \frac{ dt}{1+t^2 +\cos a (1-t^2)} $ $ que se puede reescribir como

$$-2\frac{\sin a} {1- \cos a}\int_0^{1} \frac{ dt}{t^2 +\frac{1+ \cos a}{1-\cos a}} $$ which evaluates to $ - a $. No estoy seguro de en qué me equivoqué. ¿Alguna idea?

Answer 1

Sugerencia: poner$b= \sqrt{\frac{1+ \cos a}{1-\cos a} }$ entonces,

PS

Por lo tanto,$$\int_0^{1} \frac{ dt}{t^2 +\frac{1+ \cos a}{1-\cos a}} =\int_0^{1} \frac{ dt}{t^2 +b^2} = \frac1b\arctan{\frac{t}{b}}\bigg|_{t=0}^{t=1}= \frac1b\arctan{\frac{1}{b}} $ $

Eso es$$ F'(a) =-2\frac{\sin a} {\sqrt{(1-\cos a)(1+ \cos a)}} \arctan{\left(\sqrt{\frac{1- \cos a}{1+\cos a} }\right)} \\= -2\frac{\sin a} {|\sin a|} \arctan{\left(\sqrt{\frac{1- \cos a}{1+\cos a} }\right)}$ $

Answer 2

Bueno, como hiciste

PS

Sustituir$$\mathscr{I}:=\int\frac{1}{1+\text{n}\cdot\cos\left(x\right)}\space\text{d}x\tag1$:

PS

Sustituir$\text{u}:=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$:

$$\mathscr{I}=\frac{2}{1+\text{n}}\cdot\int\frac{1}{1+\frac{1-\text{n}}{1+\text{n}}\cdot\text{u}^2}\space\text{d}\text{u}\tag2$ $$\text{s}:=\text{u}\cdot\sqrt{\frac{1-\text{n}}{1+\text{n}}}$ $

Entonces, para la integral definida:

PS