Pregunta para la prueba de$L^p$ espacio

Question

Hay un teorema expresado en mi libro de texto como el siguiente y mi pregunta es la siguiente prueba :

Deje $0<p<q<\infty$ y deje $f$ $L^{p,\infty}(X,\mu) \cap L^{q,\infty}(X,\mu)$ donde $X$ $\sigma$- finito medir el espacio.

A continuación, $f$ $L^{r,\infty}(X,\mu)$ todos los $r\in(p,q)$donde $L^{p,\infty}(X,\mu)$ es el conocido espacio de débil-$L^p(X,\mu)$.

Prueba: Recordar que $\omega(\alpha)=\mu\bigg(\{x\in X : |f(x)|>\alpha\}\bigg)$. Desde $f$$L^{p,\infty}(X,\mu) \cap L^{q,\infty}(X,\mu)$, tomamos $$\omega(\alpha)\leq \min\bigg\{\dfrac{\lVert f\rVert^p_{L^{p,\infty}}}{\alpha^p},\dfrac{\lVert f\rVert^q_{L^{q,\infty}}}{\alpha^q}\bigg\}.$$

Conjunto

$$B=\bigg(\dfrac{\lVert f\rVert^q_{L^{q,\infty}}}{\lVert f\rVert^p_{L^{p,\infty}}}\bigg)^{\dfrac{1}{q-p}}.$$

Ahora podemos calcular el $L^r$ norma de $f$ como sigue:

\begin{align} \lVert f\rVert^r_{L^r} &=r\int_0^\infty \alpha^{r-1}\omega(\alpha)\,d\alpha\\ &\leq r\int_0^\infty \alpha^{r-1} \min\bigg\{\dfrac{\lVert f\rVert^p_{L^{p,\infty}}}{\alpha^p},\dfrac{\lVert f\rVert^q_{L^{q,\infty}}}{\alpha^q}\bigg\}\,d\alpha\\ &\large\color{red}=r\int_0^B \alpha^{r-1-p}\lVert f\rVert^p_{L^{p,\infty}} \, d\alpha + r\int_B^\infty \alpha^{r-1-p}\lVert f\rVert^q_{L^{q,\infty}} \, d\alpha\\ &=\dfrac{r}{r-p}\lVert f\rVert^p_{L^{p,\infty}}B^{r-p}+\dfrac{r}{q-r}\lVert f\rVert^q_{L^{q,\infty}}B^{r-q}\\ &=\bigg(\dfrac{r}{r-p} +\dfrac{r}{q-r}\bigg)\bigg(\lVert f\rVert^p_{L^{p,\infty}}\bigg)^{\dfrac{q-r}{q-p}}\bigg(\lVert f\rVert^q_{L^{q,\infty}}\bigg)^{\dfrac{r-p}{q-p}}. \end{align} Observe que la integral converge desde $r-p>0$ $r-q<0$

Yo no tengo ningún ideal para el rojo de la igualdad se mantiene,por lo que mi pregunta es:

¿Por qué en el intervalo de $[0,B]$ el mínimo es de $\dfrac{\lVert f\rVert^p_{L^{p,\infty}}}{\alpha^p}$ y en el intervalo de $[B,\infty)$ el mínimo es de $\dfrac{\lVert f\rVert^q_{L^{q,\infty}}}{\alpha^q} $?

Hay alguien que me puede dar alguna sugerencia para que me quedé con? Gracias por la lectura paciente y teniendo en cuenta mi petición.

Answer 1

Esto es simplemente $$ \ frac {\ | f \ | _q ^ q} {\ alpha ^ q} \ geq \ frac {\ | f \ | _p ^ p} {\ alpha ^ p} \ iff \ alpha ^ {qp } \ leq \ frac {\ | f \ | _q ^ q} {\ | f \ | _p ^ p} \ iff \ alpha \ leq \ left (\ frac {\ | f \ | _q ^ q} {\ | f \ | _p ^ p} \ right) ^ {\ frac1 {qp}} = B. $$ Así, $$ \ min \ left \ {\ frac {\ | f \ | _q ^ q} {\ alpha ^ q}, \ frac {\ | f \ | _p ^ p} {\ alpha ^ p} \ right \} = \begin{cases} \frac{\|f\|_p^p}{\alpha^p},&\ \alpha\leq B \\ \ \\ \frac{\|f\|_q^q}{\alpha^q},&\ \alpha>B \end {casos} $$

Answer 2

Esta es una técnica clásica en el análisis armónico con el título: deja algunas constantes a determinar. Usted puede tratar de poner $B=1$ a ver que pasa, por supuesto, no se puede concluir nada en realidad. Por tanto, la estrategia es mantener el $B$ fijo y vamos a config el valor de $B$ mientras sea necesario.

Si queremos $\min\{\alpha^{-p}\|f\|_{p,\infty}^{p},\alpha^{-q}\|f\|_{q,\infty}^{q}\}=\alpha^{-p}\|f\|_{p,\infty}^{p}$, esto significa $\alpha^{-p}\|f\|_{p,\infty}^{p}\leq\alpha^{-q}\|f\|_{q,\infty}^{q}$, lo $\dfrac{\|f\|_{q,\infty}^{q}}{\|f\|_{p,\infty}^{p}}\geq\dfrac{\alpha^{q}}{\alpha^{p}}=\alpha^{q-p}$, lo $\alpha\leq B$, donde tenemos el papel de $B$ a ser satisfactorio en esto de la moda.

Asimismo la nota aquí: en la escuela primaria de análisis matemático, cuando nos ocupamos de integral como $\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{e^{-x}}{x^{1/2}}dx$, a un acuerdo con el azar, la partición del dominio de la integral de a $[0,c]$ $[c,\infty)$ y todavía va a través de: $\displaystyle\int_{0}^{c}\dfrac{e^{-x}}{x^{1/2}}dx+\int_{c}^{\infty}\dfrac{e^{-x}}{x^{1/2}}dx<\infty$. Por desgracia, cuando tratamos con más delicado integral gusta tu pregunta, normalmente uno no se puede establecer la $B$ a ser número arbitrario, depende fuertemente del contexto.