Sea $p=4k+1$ sea un número primo.
Necesito probar que $p$ divide $k^k-1$ .
¿Alguien podría darme alguna pista?
Gracias
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Ivan Loh
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Ya que sólo pediste una pista: $$p \mid k^k-1 \Leftrightarrow p \mid (-4)^k(k^k-1) \Leftrightarrow p \mid 1-(-4)^k$$
Ahora demuestre que $-4$ es un residuo cuártico $\pmod{p}$ utilizando una raíz primitiva $\pmod{p}$ para comprobar cuándo $-1$ es un residuo cuártico, y las condiciones pertinentes para $2$ para ser un residuo cuadrático.
Edita: Para terminar $r$ sea una raíz primitiva $\pmod{p}$ . Entonces $r^{2k} \equiv -1 \pmod{p}$ .
Si $k$ es par, entonces $-1$ es un residuo cuártico, y como $p \equiv 1 \pmod{8}$ , $2$ es un residuo cuadrático, por lo que $4$ es un residuo cuártico. Combinación, $-4$ es un residuo cuártico.
Si $k$ es impar, entonces $p \equiv 5 \pmod{8}$ así que $2$ es un residuo no cuadrático. Pon $r^{2l+1} \equiv 2 \pmod{p}$ entonces $(-4) \equiv r^{2k+4l+2} \pmod{p}$ . Desde $k$ es impar, esto implica que $-4$ es de nuevo un residuo cuártico.
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Nota, mod $\,p = 4k\!+\!1,\ $ que $\,-1\,$ es un cuadrado, digamos $\, -1 \equiv i^2,\ $ por $ $ Criterio de Euler. $\phantom{I_{I_{I_I}}}$
$\!\begin{eqnarray} \text{Therefore}\quad\ {-4}k\equiv 1\,\Rightarrow\,\color{#c00}{k^{-1}\ \equiv\ {-}4}&&\equiv \color{#c00}{(1+i)^4}\ \ {\rm by\ squaring}\ \ 2i \equiv (1+i)^2 \\[0.1em] \ {\rm Thus\ prior}^k\Rightarrow\, k^{-k}\equiv (\color{#c00}{k^{-1}})^{k} \equiv (\color{#c00}{-4})^{k}\!\!\! &&\equiv \color{#c00}{(1+i)}^{\color{#c00}4k}\!\equiv (1+i)^{p-1}\!\equiv 1\, \Rightarrow\, k^k \equiv 1^{-1}\!\equiv 1.\ \ \, {\rm QED} \end{eqnarray}$
riza
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Aquí tienes una forma con QR. Utilizando $\displaystyle\rm a^{(p-1)/2}\equiv\left(\frac{a}{p}\right)\bmod p$ derivar
$$\rm\quad k^k\equiv\left(\frac{p-1}{4}\right)^{(p-1)/4}\equiv(-1)^k\left(\frac{2}{p}\right)\equiv\cdots\pmod p$$
(¿qué nos dice el suplemento de QR sobre $\rm\left(\frac{2}{p}\right)$ ?)
