¿Cómo evaluar las integrales dobles sobre una región?

Question

Evaluar la integral doble $\iint_D(1/x)dA$, donde D es la región delimitada por los círculos $x^2+y^2=1$ $x^2+y^2=2x$

Bien, la primera que convierte a coordenadas polares:

$$ x^2 + y^2 = 1 \ \Rightarrow \ r = 1 \ \ , \ \ x^2 + y^2 = 2x \ \Rightarrow \ r^2 = 2r \cos θ \ \Rightarrow \ r = 2 \cos θ \ . $$

Los puntos de intersección: $ 2 \cos θ = 1 \ \Rightarrow \ θ = ±π/3 \ , $

$ 2 \cos θ > 1 $ para θ (-π/3, π/3).

Así,

$$ \int \int_D \ (1/x) \ \ dA \ \ = \ \ \int_{-π/3}^{π/3} \ \int_1^{2 \cos θ} \ \frac{1}{r \cos θ} \ \ r dr \ dθ $$

$$ = \ \ \int_{-π/3}^{π/3} \ \int_1^{2 \cos θ} \ \sec θ \ \ dr \ dθ \ \ = \ \ \int_{-π/3}^{π/3} \ (2 \cos θ - 1) \sec θ \ \ dθ $$

$$ = \ \ 2 \ \int_0^{π/3} \ (2 - \sec θ) \ \ dθ \ \ , $$

(puesto que el integrando es par)

$$ = \ \ 2 \ (2 θ \ - \ \ln |\sec θ + \tan θ| \ ) \vert_0^{π/3} \ \ = \ \ \frac{4π}{3} \ - \ 2 \ln(2 + √3) \ \ . $$

No estoy seguro de que esto es correcto. Podría alguien mirada sobre él?

Answer 1

Por supuesto, puedes resolver el problema usando las coordenadas polares. Si se entiende correctamente, desearía encontrar los límites correctos para las integrales dobles. Hice una trama de la región de la siguiente manera:

La parte de color rojo es nuestro$D$. Asi que:

PS

Answer 2

Primero hacer un boceto/dibujo de la zona que usted necesita.

Ahora usted ve que usted necesita la x de los límites para ser variable y las y los límites a ser fijo. Encontrar las intersecciones con el eje y, estas serán sus límites y (en este caso $(\frac{1}{2},-\sqrt{\frac{3}{2}}), (\frac{1}{2},\sqrt{\frac{3}{2}})$. Sus límites para x se $x=\sqrt{1-y^2}$ (el "derecho" a la parte de la izquierda, círculo de la trama) y $x=1-\sqrt{1-y^2}$ ("izquierda" parte de el círculo de la derecha en la trama). Por lo tanto, la integral que usted necesita para evaluar es $$\int\limits_{-\sqrt{\frac{3}{2}}}^{\sqrt{\frac{3}{2}}}\quad\int\limits_{1-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}}\frac{1}{x} dy dx$$ (you can interchange the role of $x$ and $$ y usando el teorema de Fubini, si se desea, en general, pero ya que tenemos la integral que tiene "funciones" como sus límites como el interior de la integral de aquí, de esta forma, es preferible).

Answer 3

Para hacer múltiples integrales a través de una región, debe utilizar el teorema de Fubini:

$$\iint_Df(x,y)dx\space{dy}=\int_a^b\int_{c(y)}^{d(y)}f(x,y)dx\space{dy}$$

o

$$\iint_Df(x,y)dx\space{dy}=\int_a^b\int_{c(x)}^{d(x)}f(x,y)dy\space{dx}$$

Definir su región con cuatro de los límites. Esto se puede hacer de dos maneras: una de tipo I región constante vertical límites, y el horizontal los límites están en función de $y$. Un tipo II región ha horizontal constante de los límites, y su vertical límites están en función de $x$. Determinar qué tipo de región es, y el uso del teorema de Fubini en consecuencia.

Answer 4

El "luneta" región que se muestra en los otros puestos que tiene un poco de "trampa" si uno se decide a tratar en coordenadas Cartesianas.

Los puntos de intersección otorgado por el Soñador son correctos, pero la configuración de los límites de integración para $ \ y \ $ no cubrir la totalidad de su región.$^*$ Para $ \ | y | \ > \ \frac{\sqrt{3}}{2} \ , $ todavía hay una parte de la "derecha" el círculo que se extiende a $ \ |y| \ = \ 1 \ . $ a fin De lidiar con ello, necesitamos una segunda integral donde el círculo que define tanto los límites de integración en $ \ x \ . $ Invertir la ecuación para el círculo de los rendimientos de $ \ x \ = \ 1 \ \pm \ \sqrt{1 - y^2} \ . $

$^*$ Leer ese post de nuevo, veo que el Soñador's de la integración está cubriendo la lenticular región delimitada por ambos círculos, que es lo que me gustaría inicialmente interepreted la declaración del problema a decir. Su propia solución es que la región fuera del círculo centrado en el origen (también la B. S. se muestra en rojo). Así que queda la duda de la región a la que el problema se refiere.

Así que necesitamos para la construcción de las dos integrales para completar el trabajo (de nuevo, con la simetría sobre el $ \ x-$ eje):

$$ 2 \ \left[ \ \int\limits_0^{\sqrt{\frac{3}{2}}} \ \int\limits^{1+\sqrt{1-y^2}}_{\sqrt{1-y^2}} \ \frac{1}{x} \ \ dx \ dy \ \ + \ \ \int\limits^1_{\sqrt{\frac{3}{2}}} \ \ \int\limits^{1+\sqrt{1-y^2}}_{1-\sqrt{1-y^2}} \ \frac{1}{x} \ \ dx \ dy \ \right] $$

Esto es sólo lo suficientemente horrible, y el polar formulario puede ser integrado de manera tan simple, que la polar integración parece ser el método previsto por el poser de este problema.