Círculos en el plano de tal manera que cada línea se cruza con al menos uno de ellos, pero no de la línea se cruza con más que 100 de ellos

Question

Tengo un grave problema con este problema: ¿Es posible Dibujar círculos en el plano de tal manera que cada línea se cruza con al menos uno de ellos, pero no de la línea se cruza con más que 100 de ellos !?

Cualquier ayuda o sugerencia sería útil.

Answer 1

Sólo tengo un parcial (negativo) de la solución.

Puedo demostrar que no hay cadena de círculos de longitud infinita. Es decir, no hay secuencia de círculos sin repeticiones, donde cada dos consecutivos círculos se intersectan o toque y la suma de los radios de los círculos diverge. En particular, esto descarta las sugerencias con hipérbolas o parábolas, si lo he entendido correctamente.

La prueba por contradicción. Deje $C$ ser uno de los círculos de la cadena y deje $P$ ser su centro. Vamos a demostrar que algunos rayos de partida en $P$ cruza infinitamente muchos círculos. Vamos a llamar a $P$los rayos los rayos de partida en $P$.

Un círculo de radio $r$ con el centro en la distancia $\ell$ $P$ intersecta al menos $2r/(\ell\cdot 2\pi)$ fracción de la $P$-rayos. (Esto no es cierto si $r>\ell\cdot \pi$, de los cuales nos ocupamos en el final).

Deje $r_i$ ser la secuencia de los radios de los círculos a lo largo de la cadena de partida con $C$. A continuación, la distancia $\ell_i$ $P$ y el centro de la $i$-th círculo se encuentra en la mayoría de los $2(r_1+r_2+\cdots + r_i)$. Por lo que el $i$-th círculo de bloques de al menos $(1/(2\pi)) \cdot r_i/(r_1+\cdots +r_i)$ fracción de $P$-rayos. Desde que la cadena tiene longitud infinita, la suma de $r_1 + r_2 + \cdots$ diverge. A continuación, también la suma de $r_i$ dividido por las sumas parciales diverge. Es decir, la suma de las fracciones de bloqueado $P$rayos va al infinito y algunos $P$-ray está bloqueado infinidad de veces.

Todavía tenemos que hacer algo con los círculos de la cadena de con $r>\ell\cdot \pi$. Primero de todo, $C$ es uno de ellos: nos contó que bloquea $(1/(2\pi)) \cdot r_1/r_1$ fracción, y eso es cierto. Para otros, puede que nos han contado que bloquean muchas veces más que el 100% de la % de la $P$-rayos. Pero dado que cada círculo contiene $P$ y cruza todos los $P$-ray, hay en la mayoría de las $99$ de tales círculos. Por lo que el exceso cuenta para la suma es finita y la corregida suma que aún diverge.