La más pequeña de las álgebras sigma

Question

Puede alguien mostrarme cómo resolver esta pregunta extraída del libro de Michael Taylor:

Si $\{\mathcal{F}_{\alpha} : \alpha \in A\}$ es el conjunto de todos los $\sigma$ -de subconjuntos de $X$ que contienen $\mathcal{C}$ , demuestran que $$\bigcap_{\alpha \in A} \mathcal{F}_{\alpha} = \mathcal{F}$$ es un $\sigma$ -de subconjuntos de $X$ que contiene $\mathcal{C}$ y es, de hecho, el más pequeño de estos $\sigma$ -Álgebra. Se dice $\mathcal{F}$ es el $\sigma$ -generada por $\mathcal{C}$ y escribe $\mathcal{F} = \sigma(\mathcal{C})$

Answer 1

Recordemos la definición de $\sigma$ -es una colección de subconjuntos de una determinada $X$ tal que..:

1. Es cerrado bajo uniones contables;
2. Está cerrada bajo la toma de complemento (relativa a $X$ ).

De aquí se desprenden las intersecciones contables por las leyes de DeMorgan.

Supongamos ahora que $X_i\in\mathcal F$ para $i\in\mathbb N$ . Así que para todos $\alpha\in A$ tenemos $X_i\in\mathcal F_\alpha$ . Desde $\mathcal F_\alpha$ es un $\sigma$ -tenemos que $\bigcap X_i\in\mathcal F_\alpha$ para todos $\alpha\in A$ y por lo tanto $\bigcap X_i\in\bigcap\mathcal F_\alpha=\mathcal F$ .

Para los complementos, el principio es el mismo.

Además, la misma idea sirve para demostrar que $\mathcal F$ contiene $\mathcal C$ . Por último, tenemos que demostrar que efectivamente es el más pequeño:

Supongamos que $\mathcal S$ es un $\sigma$ -que contiene $\mathcal C$ , entonces para algunos $\alpha\in A$ tenemos $\mathcal S=\mathcal F_\alpha$ por lo que participó en la intersección que generó $\mathcal F$ Por lo tanto $\mathcal F\subseteq\mathcal S$ .

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Más información:

1. El $\sigma$ -de subconjuntos de $X$ generado por un conjunto $\mathcal{A}$ es el álgebra sigma más pequeña que incluye $\mathcal{A}$

Answer 2

Si un XXXXX se define como un conjunto cerrado bajo ciertas operaciones, entonces cualquier intersección de XXXXXs es otro XXXXX. La prueba es la siguiente. Supongamos que $\{A_\alpha : \alpha\in I\}$ es un conjunto de XXXXX y $u,v\in \bigcap\limits_{\alpha\in I}A_\alpha$ . Entonces, para cada $\alpha\in I$ , $u,v\in A_\alpha$ . Realización de las operaciones en $u,v$ bajo el cual todo XXXXX es cerrado, concluimos que lo que obtenemos es en $A_\alpha$ . Dado que eso es cierto para cada valor de $\alpha$ Lo que obtenemos es en $\bigcap\limits_{\alpha\in I}A_\alpha$ . Por lo tanto, $\bigcap\limits_{\alpha\in I}A_\alpha$ es un XXXXX.

NO tomar " $u,v$ " para significar sólo dos cosas; interpretarlo si es necesario como una clase de cosas contablemente infinita o incluso mayor, si las operaciones bajo las que se cierra cada XXXXX lo requieren.

Ahora, en lugar de "un XXXXX", basta con decir "un XXXXX del que $\mathcal{C}$ es un subconjunto", y aplicar ese argumento.

Esa es la respuesta a tu primera pregunta. Pero si se trata de una tarea, debería explicarse con más detalle que lo que aparece arriba.

¿Y qué pasa con el "más pequeño"? Ahora necesitamos la suposición de que $\{A_\alpha : \alpha\in I\}$ no es sólo una colección de XXXX que contiene $\mathcal{C}$ como subconjunto, sino que es la colección de todo XXXXXs que contienen $\mathcal{C}$ como subconjunto.

Es el más pequeño simplemente porque por cada $\alpha_0$ , $\displaystyle A_{\alpha_0}\supseteq \bigcap_{\alpha\in I}A_\alpha$ . "Más pequeño" significa simplemente que es un subconjunto de todos los demás.