Probar un cierto campo cuadrático imaginario contiene tres clases ideales.

Question

Estoy tratando de mostrar a $\mathbb{Z}[\sqrt{-31}]$ tiene tres distintos ideales de las clases, pero algo va mal y que sólo puede encontrar la identidad y de la otra clase.

Encontré $|d_{K}| = 31$ porque $-31 \equiv 1 \bmod 4$, y el uso de Minkowski seguramente me calculadas $\frac{1}{2} \frac{4}{\pi} \sqrt{31} < 4$, así que sólo tengo que comprobar los números primos 2 y 3 (me siento como este es donde se me puede faltar algo).

$\langle 2 \rangle$ se divide en $\left\langle 2, \frac{1 \pm \sqrt{-31}}{2} \right\rangle$ que puedo mostrar que no es principal, considerando la norma de un elemento arbitrario de las necesidades para la igualdad de $2$ $\implies$ $N(\alpha) = N\left(\frac{a + b\sqrt{-31}}{2}\right) = \frac{a^{2} + 31b^{2}}{4} \neq 2$.

Mi problemas es con $\langle 3 \rangle$ porque es el primer en $\mathcal{O}_{K}$ debido a $-31$ no ser congruente a una plaza modulo $3$. Por lo tanto $\langle 3 \rangle$ es equivalente a la identidad en el ideal del grupo de clase, por lo tanto, el ideal de clase grupo cuenta con sólo dos clases.

¿Puede alguien ver donde estoy cometiendo un error? Sus comentarios serán muy apreciados. Gracias por la lectura.

Answer 1

Como señala un grupo,$\mathfrak{p}=(2,\frac12(1+\sqrt{-31}))$ y$\mathfrak{p}'=(2,\frac12(1-\sqrt{-31}))$ están en diferentes clases ideales. Claramente,$\mathfrak{p}\mathfrak{p}'=(2)$, así que$[\mathfrak{p}]$ y$[\mathfrak{p}']$ son clases inversas. Además, como no hay un elemento de norma$2$ en el anillo de enteros, cada uno no es principal. Pero$(\frac12(1+\sqrt{-31}))=\mathfrak{p}^3$ ya que este ideal tiene la norma$8$ y no puede ser divisible por$\mathfrak{p}'$. Por lo tanto,$[\mathfrak{p}]$ es una clase ideal de orden$3$ en el grupo de clase y$[\mathfrak{p}']=[\mathfrak{p}]^{-1}=[\mathfrak{p}]^2$.