El número de subespacios de$m$ - dimensional de$V$ es igual que el número de subespacios de$(n-m)$ -.

Question

Deje $V$ $n$- dimensional espacio vectorial sobre un campo finito $F$. Para $ 0\le m \le n$, el número de $m$-dimensiones de los subespacios de $V$ es igual al número de $(n-m)$-dimensiones de los subespacios.

He intentado utilizar el siguiente argumento:

Correspondiente a cada $m$ dimensiones subespacio, podemos encontrar un subespacio complementario de dimensión $(n-m)$. Así, $$ \text{número de subespacios de dimensión }m\le \text{número de subespacios de dimensión }(n-m) $$

Invirtiendo el argumento, obtenemos son iguales.

Es esto correcto?

Answer 1

SUGERENCIA: indique por$\operatorname{Sub}(V)$ el conjunto de subespacios del espacio vectorial$V$. Use el mapa $$ \begin{matrix} \operatorname{Sub}(V) &\longrightarrow &\operatorname{Sub}(V^*)\\ U & \longmapsto & U^{\bot} \end {matrix} $$ Donde$U^{\bot} = \{ \phi \in V^* : \phi (U) = \{ 0 \} \}$. Dado que$V$ y$V^{**}$ son isomorfos canónicamente, puede considerar un mapa análogo$$\operatorname{Sub}(V^*) \longrightarrow \operatorname{Sub}(V^{**}) \ "=" \ \operatorname{Sub}(V)$ $ y tenga en cuenta que estos dos son inversos entre sí.

Para concluir, debes saber que$\dim U^{\bot} = n- \dim U$.

Answer 2

No, esto no es correcto. No sólo hay más de un subespacio complementario a un subespacio $U$, pero la elección de uno de estos subespacio complementario $W$, también es complementaria a la de muchos otros subespacios $U'$ de la misma dimensión como $U$. Así que uno no puede excluir la posibilidad de que el mismo subespacio $W$ es elegido como el subespacio complementario muchas veces, y esto significa que uno no llega a la desigualdad entre sus números.

Lo que se necesita para este tipo de argumento es un método estandarizado para hacer una elección de subespacio complementario que garanticen que para $U'\neq U$ los subespacios complementarios elegido será diferente. Sin embargo no es fácil tal método.

Answer 3

Problema: ¿Cómo elegir el subespacio complementario? Tal vez usted elija el mismo complemento para los diferentes subespacios. A continuación, su estimación no funciona...

Ejemplo: $\mathbb F_2^2$, el subespacio $\langle (1,1)\rangle$ es complementaria a la de $\langle (0,1)\rangle$$\langle (1,0)\rangle$. ¿Por qué debería usar uno diferente?

Solución: Utilizando una degenerada forma bilineal $b$, usted puede encontrar $b$ortogonales, complementa. De esta manera su opción de complementar la convierte en única.

En el ejemplo de arriba con el producto $(a,b)\cdot(c,d)=ac+bd$, el espacio de $\langle (0,1)\rangle$ es ortogonal a $\langle (1,0)\rangle$ $\langle (1,1)\rangle$ a sí mismo. Por lo tanto hay muchos 1-dimensiones de los subespacios como (2-1) dimensiones de los subespacios. (ok, la declaración es una estupidez, pero la correspondencia obras)