Cómo integrar una fracción del tipo $\frac{1}{(ax+b)^c(dx+e)^f}$ ?

Question

Estoy trabajando en la obtención de la velocidad de las reacciones químicas, y este es uno de los problemas con los que me encontré.

$$ \int \frac{1}{(ax+b)^c(dx+e)^f}dx $$

¿Se puede resolver esta ecuación? Si es posible, por favor muestre los resultados.

Answer 1

• Si c y f son enteros positivos, evalúe $I(b,e)=\displaystyle\int\frac1{(ax+b)(dx+e)}dx$ en términos de b y

  e y luego diferenciar el resultado obtenido c veces con respecto a b y f veces con respecto a e .

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• Si c y f son enteros negativos, sea $t=ax+b$ por ejemplo, y luego expandir el otro término utilizando el teorema del binomio y cambiar el orden de la suma y la integración.

Answer 2

En el caso general, el resultado no puede expresarse como una combinación de un número limitado de funciones elementales. La forma cerrada implica una función especial : http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+dx%2F%28%28%28ax%2Bb%29%5Ec%29%28%28Ax%2BB%29%5EC%29%29

En casos particulares, por ejemplo si las potencias son enteras, o en otros casos con valores particulares de los parámetros, la función especial se reduce a funciones de nivel inferior, a veces a funciones elementales.