La ecuación $y'=1+y^4$ explota en un tiempo finito

Question

Demostrar que la ecuación $$y'=1+y^4 \:, y(0)=0$$ tiene una solución máxima con un dominio acotado.

La existencia y unicidad de dicha solución máxima se garantiza mediante el teorema de Cauchy-Lipschitz.

Intenté una prueba por contradicción para la acotación. Una forma prometedora sería utilizar el teorema fundamental del cálculo y tomar límites en el infinito...

Gracias por sus sugerencias.

Answer 1

He aquí una solución indirecta. Si $y$ no explota en tiempo finito, entonces la solución máxima está definida en todo $[0, \infty)$ . Hacemos las siguientes dos observaciones sencillas:

1. Sine $y' \geq 1$ obtenemos $y(t) \geq t$ .
2. Desde $y' = 1 + y^{4} \geq 2y^{2}$ para cualquier $0 < t_{0} < t_{1}$ obtenemos $$ \frac{y'}{y^{2}} \geq 2 \quad \Longrightarrow \quad \frac{1}{y(t_{0})} - \frac{1}{y(t_{1})} \geq 2(t_{1} - t_{0}). $$

Combinando dos observaciones, para cualquier $0 < t_{0} < t_{1}$ obtenemos

$$ \frac{1}{t_{0}} \geq \frac{1}{y(t_{0})} - \frac{1}{y(t_{1})} \geq 2 (t_{1} - t_{0}). $$

Entonces obtenemos una contradicción al elegir grandes $t_{0}$ y $t_{1} = t_{0} + 1$ .

Answer 2

Dejemos que $y(t)$ sea la solución, para saber que $y(0)=0$ y $y'(t)=1+y(t)^4$ . Es evidente que la función es estrictamente creciente en su dominio, por lo que es positiva en la parte positiva de su dominio.

Tenemos $\frac{y'(t)}{1+y(t)^4}=1$ . Integrando esto desde $0$ a $\tau$ tenemos $\int_0^\tau\frac{y'(t)}{1+y(t)^4}dt=\tau$ y la integral se puede reescribir como $\int_0^{y(\tau)}\frac{d\xi}{1+\xi^4}$ y esto se puede calcular, por lo que podemos concluir que $$ \frac{-\tan ^{-1}\left(1-\sqrt{2} y(t)\right)+\tan ^{-1}\left(\sqrt{2} y(t)+1\right)+\tanh ^{-1}\left(\frac{\sqrt{2} y(t)}{y(t)^2+1}\right)}{2 \sqrt{2}}=\tau$$ para todos $\tau$ en la parte positiva del dominio de $y$ . Ahora la función $$\frac{\tanh ^{-1}\left(\frac{\sqrt{2} t}{t^2+1}\right)-\tan ^{-1}\left(1-\sqrt{2} t\right)+\tan ^{-1}\left(\sqrt{2} t+1\right)}{2 \sqrt{2}}$$ está acotado. Esto significa que el dominio tiene que estar acotado por encima. De hecho, el límite superior del dominio tiene que ser el valor límite de esta función, que es $\frac{\pi }{2 \sqrt{2}}$ .