Consecuencias de una matriz rectangular de rango máximo.

Question

Tengo una matriz real $A$, $(m+1) \times m$ y un vector $b \in \mathbb R^{m+1}$ tal que $b_{m+1}=0$. Para cualquier vector $u\in \mathbb R^m$, $Au=0 \Rightarrow u=0$. Esto significa que $A$ es una matriz rectangular de máximo rango, es decir, de rango $m$.

Desde $m< \infty$, me dicen que esto significa que hay una solución a$u\in \mathbb R^m$$Au=b$. No entiendo por qué: si $\operatorname{rk}(A)=m$, entonces la dimensión de la imagen de la aplicación lineal definida por $A$$\mathbb R^{m+1}$$m$. Así, por $b\in\mathbb R^m$ nos puede garantizar una solución, pero ¿cómo podemos garantizar que la solución satisface nuestra $b\in\mathbb R^{m+1}$?

Hay algo simple que me falta? (He preguntado a un par de compañeros de clase que no sabía, y mi profesor que me dijo esto en primer lugar, me dijo que me la busque en un libro en una librería a la que se cierra hasta la próxima semana.)

Answer 1

Tienes razón, tu profesor está equivocado. En tal caso, generalmente es una buena idea buscar un ejemplo simple. Para$m=1$, la matriz$A=\pmatrix{1\\1}$ tiene rango completo$1$. Para cualquier vector$u\in\mathbb R^1$,$Au=0$ implica$u=0$. Sin embargo, claramente no hay$\mathrm u\in\mathbb R^1$ tal que$Au=\pmatrix{b_1\\0}$ para cualquier$b_1\ne0$.