La ecuación de schrödinger (explicación para no físico)

Question

Para un informe en el que estoy escribiendo en la Computación Cuántica, estoy interesado en comprender un poco acerca de esta famosa ecuación. Soy una estudiante universitaria de matemáticas, por lo que puedo soportar un poco de formalismo en la explicación. Sin embargo, yo no soy tan estúpido como para pensar que puedo entender este hito sin algunos años de la física. Voy a ser feliz de ser capaz de leer la ecuación y lo reconocen en sus diversas formas.

Para ser más precisos, aquí están mis preguntas.

Hyperphysics me dicen que Shrodinger la ecuación "es una ecuación de onda en términos de la función de onda".

1. Donde es la ecuación de onda en la mayoría de la forma general de la ecuación?

   $$\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi=H\Psi$$

   Pensé que la ecuación de onda debe ser del tipo

   $$\frac{\partial^2}{\partial^2t}u=c^2\nabla^2u$$

   Es la diferencia en el orden de la derivación que se me molesta.

   De Wikipedia

   "La ecuación se deriva parcialmente de diferenciar el estándar de la ecuación de onda y la sustitución de la relación entre el momento de la partícula y la longitud de onda de la onda asociada con las partículas en la hipótesis De De Broglie."

2. Puede que alguien me muestre los pasajes en un simple (o mejor general) caso?

3. Creo que esta pregunta es la más difícil de responder para un novato. ¿Cuál es el Hamiltoniano de un estado? Cómo mucho, hablando en general, ¿el Hamiltoniano tiene que hacer con la energía de un estado?

4. ¿Qué suposiciones hizo de Schrödinger hacer acerca de la función de onda de un estado, para ser capaz de escribir la ecuación? O ¿cuáles son las cosas importantes que debo nota en una función de onda que son basilar para la prueba de la ecuación? Con las dos preguntas que quiero decir, ¿cuáles son los pasajes entre de de Broglie (sí, hay estas ondas) y Schrödinger (la función de onda se caracteriza por)?

5. Se dice a menudo "La ecuación de ayuda, encuentra la forma de la función de onda" como a menudo como "La ecuación nos ayuda a predecir la evolución de una función de onda" a Cual de los dos? Cuando uno, cuando los otros?

Answer 1

Lo que usted escribe es el tiempo-dependiente de la ecuación de Schrödinger. Esta no es la ecuación de una verdadera ola. Él postula la ecuación usando una aproximación heurística y algunas ideas/analogías de la óptica, y él creía en la existencia de una verdadera ola. Sin embargo, la interpretación correcta de $\Psi$ fue dado por Nacer: $\Psi$ es un inobservable de la función, cuyo complejo de la plaza de $|\Psi|^2$ da probabilidades. En la literatura de más edad $\Psi$ todavía se denomina la función de onda, En la literatura moderna el término función de estado es el preferido. Los términos "ecuación de onda" y "la onda de la formulación" son legado de los términos.

De hecho, parte de la confusión que había de Schrödinger, cuando él creía que su ecuación describe una física de la onda, es debido al hecho de que se trabajó con las partículas individuales. En ese caso $\Psi$ está definido en un espacio abstracto que es isomorfo a la tri-dimensional del espacio. Sin embargo, cuando se considere la posibilidad de una segunda partícula y escribir $\Psi$ -sistema del cuerpo, el isomorfismo se rompe y la superficial analogía con la física de ondas, se ha perdido completamente. Una buena discusión de esto se da en Ballentine libro de texto sobre mecánica cuántica (sección 4.2).

La ecuación de Schrödinger no puede ser derivada de la teoría de la onda. Esta es la razón por la ecuación es el postulado de la mecánica cuántica.

No es Hamiltoniano para un estado; el Hamiltoniano es característico de un sistema determinado, con independencia de su estado. La energía es posible una propiedad física de un sistema, una de las características observables de un sistema; es más correcto decir que el Hamiltoniano da la energía de un sistema en los casos cuando el sistema está en un estado determinado. Un sistema cuántico tiene siempre un Hamiltoniano, pero no siempre, tiene una energía definida. Sólo algunos estados $\Psi_E$ que satisfagan a la vez independiente de la ecuación de Schrödinger $H\Psi_E = E \Psi_E$ están asociados a un valor de $E$ de energía. El sistema cuántico puede estar en una superposición de la $\Psi_E$ estados o puede ser en el más general de los estados para que la energía no está definido.

Wavefunctions $\Psi$ han de satisfacer una serie de requisitos básicos tales como la continuidad, la diferenciabilidad, la finitud, la normalización... Algunos textos hincapié en que la wavefunctions sería de valor único, pero yo ya tome esto en la definición de la función.

La ecuación de Schrödinger se da tanto "la forma de la función de onda" y "la evolución de una función de onda". Si conoces $\Psi$ en algún momento inicial, y de integrar el tiempo-dependiente de la ecuación de Schrödinger se puede obtener la forma de la función de onda para algún otro instante: por ejemplo, la integración es directa y da $\Psi(t) = \mathrm{Texp}(-\mathrm{i}/\hbar \int_0^t H(t') dt') \Psi(0)$ donde $\mathrm{Texp}$ denota una ordenados en el tiempo exponencial. Esta ecuación también se da la evolución de la función de onda inicial $\Psi(0)$. Cuando el Hamiltoniano es independiente del tiempo, la solución se simplifica a $\Psi(t) = \exp(-\mathrm{i}Ht/\hbar) \Psi(0)$.

Para los estados estacionarios, el tiempo-dependiente de la ecuación de Schrödinger que escribir reduce a la vez independiente de la ecuación de Schrödinger $H\Psi_E = E \Psi_E$; la demostración se da en cualquier libro de texto. Para los estados estacionarios no hay evolución de la función de onda, $\Psi_E$ no depende del tiempo, y la resolución de la ecuación sólo da la forma de la función de onda.

Answer 2

Usted no debe pensar de la ecuación de Schrödinger como una verdadera ecuación de onda. En la electricidad y el magnetismo, la ecuación de onda es normalmente escrito como

$$\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

con dos temporales y dos espacial derivados. En particular, se hace el tiempo y el espacio en "pie de igualdad", en otras palabras, la ecuación es invariante bajo las transformaciones de Lorentz de la relatividad especial. El uno-dimensional del tiempo-dependiente de la ecuación de Schrödinger para una partícula libre es

$$ \mathrm{i} \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}$$

que tiene uno temporal derivada, pero dos espacial derivados, por lo que no es invariante Lorentz (pero es Galileo invariante). Para un conservador potencial, por lo general aumentan el $V(x) \psi$ a la derecha.

Ahora, usted puede resolver la ecuación de Schrödinger es en diversas situaciones, con los potenciales y las condiciones de contorno, como cualquier otra ecuación diferencial. En general va a resolver de un complejo (analítica) de la solución de $\psi(\vec r)$: la mecánica cuántica demandas complejas funciones, mientras que en el (clásico, E&M) de la ecuación de onda de soluciones complejas son simplemente una abreviatura para el real. Por otra parte, debido a la interpretación probabilística de la de $\psi(\vec r)$, podemos hacer la demanda que todas las soluciones deben ser normalizados tal que $\int |\psi(\vec r)|^2 dr = 1$. Estamos autorizados a hacer eso porque es lineal (creo "lineal" como en álgebra lineal), sólo se restringe el número de soluciones que se pueden tener. Estos requisitos, además de la linealidad, le da las siguientes propiedades:

1. Usted puede poner cualquier $\psi(\vec r)$ a Schrödinger, ecuación (siempre y cuando se normaliza y 'agradable'), y la dependencia del tiempo en la ecuación de predecir la forma en que el estado evoluciona.

2. Si $\psi$ es una solución a una ecuación lineal, $a \psi$ es una solución para algunos (complejo) $a$. Sin embargo, podemos decir que todos esos estados son "el mismo", y de todos modos sólo aceptamos normalizado de las soluciones de ($\int |a\psi(\vec r)|^2 dr = 1$). Podemos decir que las soluciones como $-\psi$, y, más generalmente,$e^{i\theta}\psi$, representan el mismo estado físico.

3. Algunas soluciones especiales $\psi_E$ son autoestados del lado derecho de la tiempo-dependiente de la ecuación de Schrödinger, y por lo tanto pueden ser escrita como $$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi_E}{\partial x^2} = E \psi_E$$ y se puede demostrar que estas soluciones tienen en el tiempo particular de la dependencia $\psi_E(\vec r, t) = \psi_E(\vec r) e^{-i E t/\hbar}$. Como usted puede saber de álgebra lineal, los estados propios de la descomposición es muy útil. Físicamente, estas son las soluciones de energía de los estados propios' y representar los estados de energía constante.

4. Si $\psi$ $\phi$ son soluciones, por lo que es $a \psi + b \phi$, mientras $|a|^2 + |b|^2 = 1$ para mantener la solución normalizada. Esto es lo que llamamos una 'superposición'. Un componente muy importante aquí es que hay muchas maneras de añadir dos soluciones con el mismo peso: $\frac{1}{\sqrt 2}(\psi + e^{i \theta} \phi)$ son soluciones para todos los ángulos $\theta$, por lo tanto podemos combinar los estados con signos más o menos. Esto se vuelve crítico en muchos fenómenos cuánticos, especialmente a fenómenos de interferencia tales como Rabi y Ramsey oscilaciones que usted seguramente va a aprender en una computación cuántica de la clase.

Ahora, la conexión a la física.

1. Si $\psi(\vec r, t)$ es una solución para la Schrödinger, ecuación en la posición $\vec r$ y el tiempo de $t$, entonces la probabilidad de encontrar la partícula en una región específica puede ser encontrado mediante la integración de $|\psi^2|$ alrededor de esa región. Por esa razón, se identifican $|\psi|^2$ como la probabilidad de la solución de la partícula.

   • Esperamos que la probabilidad de encontrar una partícula en algún lugar en cualquier momento en particular $t$. La ecuación de Schrödinger tiene el (indispensable), propiedad de que si $\int |\psi(\vec r, t)|^2 dr = 1$ en un momento dado, entonces la propiedad se mantiene en todo momento. En otras palabras, la ecuación de Schrödinger se conserva la probabilidad. Esto implica que existe una ecuación de continuidad.

2. Si quieres saber el valor de la media de un observable $A$ en un momento dado sólo integrar $$ <A> = \int \psi(\vec r, t)^* \hat A \psi(\vec r, t) d\vec r$$ donde $\hat A$ es el operador lineal asociado a la observables. En la posición de la representación, la posición del operador es $\hat A = x$, y el impulso del operador, $\hat p = - i\hbar \partial / \partial x$, que es un operador diferencial.

La relación de de Broglie es pensado como histórico. Esto está relacionado con el cómo de Schrödinger resuelto la ecuación, pero no buscan un riguroso conexión. Como para el de Hamilton, que es una muy útil el concepto de la mecánica clásica. En este caso, el Hamiltoniano es una medida de la energía total del sistema y se define clásicamente como $H = \frac{p^2}{2m} + V(\vec r)$. En muchos sistemas clásicos es una cantidad conservada. $H$ también le permite calcular ecuaciones clásicas de movimiento en términos de la posición y el momentum. Un gran salto para la mecánica cuántica es que la posición y el momento están vinculados, por lo que saber "todo" sobre la posición (la función de onda $\psi(\vec r))$ a un punto en el tiempo que le dice "todo" sobre el impulso y la evolución. En la mecánica clásica, que no es suficiente la información, usted debe saber tanto de una posición de la partícula y el impulso para predecir su futuro movimiento.

Answer 3

Si se toma la ecuación de onda $$\nabla^2\phi = \frac{1}{u^2}\frac{d^2\phi}{dt^2}\text{,}$$ y considerar la posibilidad de un único componente de la frecuencia de una onda mientras toma su tiempo la dependencia, $\phi = \psi e^{-i\omega t}$, entonces: $$\nabla^2 \phi = -\frac{4\pi^2}{\lambda^2}\phi\text{,}$$ pero eso significa que la amplitud de la onda debe satisfacer una ecuación de la misma forma: $$\nabla^2 \psi = -\frac{4\pi^2}{\lambda^2}\psi\text{,}$$ y si usted sabe de la relación de de Broglie $\lambda = h/p$, donde para una partícula de energía $E$ en un potencial $V$ tiene un momento $p = \sqrt{2m(E-V)}$, por lo que: $$\underbrace{-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V\psi}_{\hat{H}\psi} = E\psi\text{,}$$ Por lo tanto, el tiempo independiente de la ecuación de Schrödinger tiene una conexión a la ecuación de onda. El pleno de la ecuación de Schrödinger puede ser recuperado por poner dependencia de tiempo de vuelta en, $\Psi = \psi e^{-i\omega t}$ respetando la de de Broglie $E = \hbar\omega$: $$\hat{H}\Psi = (\hat{H}\psi)e^{-i\omega t} = \hbar\omega \psi e^{-i\omega t} = i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}\text{,}$$ y, a continuación, aplicar el principio de superposición para el caso general.

Sin embargo, en este proceso, la aplicación repetida de la de de Broglie de relaciones nos lleva lejos de, ya sea clásica o las ondas clásica de partículas; en qué medida el resultado "función de onda" debe ser considerada como una onda, es sobre todo una cuestión semántica, pero definitivamente no en todo un clásico de la onda. Como otras respuestas han profundizado en la correcta interpretación de esta nueva "función de onda" $\Psi$ es intrínsecamente probabilística, con su módulo cuadrado que representa una densidad de probabilidad, y el gradiente de la fase compleja, siendo la probabilidad de corriente (escala por algunas constantes y la densidad de probabilidad).

---

Como para la de de Broglie de las relaciones en sí, que es posible "adivinar" haciendo una analogía de las ondas como partículas. Escrito $u = c/n$ y en busca de soluciones cercanas a onda plana en forma de, $\phi = e^{A+ik_0(S-ct)}$, la ecuación de onda, se obtiene: $$\begin{eqnarray*} \nabla^2A + (\nabla A)^2 &=& k_0^2[(\nabla S)^2 - n^2]\text{,}\\ \nabla^2 S +2\nabla A\cdot\nabla S &=& 0\text{.} \end{eqnarray*}$$ Bajo el supuesto de que el índice de refracción $n$ cambia lentamente a distancias del orden de la longitud de onda, a continuación, $A$ no varía extraordinariamente, la longitud de onda es pequeña, y por lo $k_0^2 \propto \lambda^{-2}$ es grande. Por lo tanto, el término entre corchetes debe ser pequeño, y podemos hacer la aproximación: $$(\nabla S)^2 = n^2\text{,}$$ que es la ecuación de la eikonal que los enlaces de la ecuación de onda con la óptica geométrica, en los cuales el movimiento de la luz de las pequeñas longitudes de onda en un medio de buen comportamiento del índice de refracción pueden ser tratados como los rayos, es decir, como si se describe, por los caminos de partículas/partículas.

Para la partícula analogía con el trabajo, la eikonal función de $S$ debe tomar el papel de la función característica de Hamilton $W$ formado por separación de variables a partir de la clásica de Hamilton-Jacobi ecuación en $W - Et$, lo que obliga a este último a ser proporcional al total de la fase de la ola, dando a $E = h\nu$ a un desconocido constante de proporcionalidad $h$ (físicamente la constante de Planck). El índice de refracción $n$ corresponde a $\sqrt{2m(E-V)}$.

Esto se discute en, por ejemplo, Goldstein de la Mecánica Clásica, si usted está interesado en los detalles.