Usando la hipótesis$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$ para probar algo más

Question

Suponiendo que$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$ $

¿Es posible usar este hecho para probar algo como:

PS

Sólo curioso. ¡Gracias por la ayuda!

Answer 1

Una forma más sencilla de ver que una de$a = -b$ o$b = -c$ o$c = -a$ es verdadera.

wlog, podemos asumir$abc = 1$ (¿por qué?).

Así que podemos asumir que$a,b,c$ son raíces de$x^3 - px^2 + qx -1 = 0$.

Tu relación nos da que$q = \frac{1}{p}$ (fórmulas de Vieta)

Así obtenemos$a,b,c$ son raíces de

PS

Así las raíces son$$x^2(x - p) + \frac{1}{p}(x - p) = 0$ $