¿Cómo se llama esta ecuación (en la imagen)?

Question

Podría alguien proporcionan algunas de Google-capaces de palabras para esta ecuación?

$$Q_{\chi^2,d} = \left[2^{d/2}\Gamma\left(\frac{d}{2}\right)\right]^{-1}\int_{\chi^2}^\infty (t)^{\frac{d}{2}-1}e^{-\frac{t}{2}}dt$$

Es a partir de aquí. Es para calcular el p-valor, si el valor de chi-cuadrado excede, provoca el rechazo de la hipótesis nula de que los valores observados son distribuidos de manera uniforme.

En particular, veo la función Gamma, pero ¿qué hacen los corchetes significan? Y hay un nombre para la parte integral de la derecha?

Tengo un programa que calcula de Pearson chi-cuadrado. Pero tengo que buscar la crítica de los valores de p en la calculadora enlazado más arriba, porque no puedo imaginar cómo utilizar esta ecuación. Todas las sugerencias se agradece.

Answer 1

En los enlaces de esta página se introduce en la ecuación, "[t]él la probabilidad P de que un $\chi^2$ valor calculado para un experimento con $d$ grados de libertad... es debido a la casualidad". Esto sugiere que es una versión de la distribución chi-squared del CDF. Por otra parte, se parece mucho a la chi-cuadrado de distribución del pdf que aparece en la página de la Wikipedia, pero con la integral añadido.

Reconocer que cualquier distribución del CDF (acumulativas de función de distribución) es la integral de pdf (función de densidad de probabilidad). Si se dibuja lo que piensa la gente como la 'forma' de una distribución, normalmente se dibujo en el pdf. Aquí están algunos de chi-cuadrado de archivos pdf desde la página de la Wikipedia:

La integración de más de esto significa que para una de las curvas, se toma la altura de la línea en cada punto de un límite inferior (posiblemente tan bajo como $0$) a una cota superior (posiblemente tan alto como $\infty$) y sumarlos. En el caso de la ecuación, se tiene una integral que va desde la observada valor de chi-cuadrado hasta el infinito.

Una característica definitoria de un pdf es que se debe integrar (suma) a $1$. Pero la expresión dentro de la integral no necesariamente suman a $1$. Podemos salir de este problema dividiendo por el total, ya que cualquier número dividido por sí mismo es $1$. Observe que la expresión entre corchetes es elevado a la potencia de $-1$; por lo tanto, son la división de la integral por la expresión entre corchetes. De esto podemos deducir que la expresión entre corchetes es el total (o sea, si se integran a lo largo de todo el rango de$0$$\infty$).

Para este cálculo está dando la proporción de la distribución chi-squared que está a la derecha de / $\ge$ a la observada valor de chi-cuadrado. Es decir, se está dando el $p$-valor.

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En este punto debo decir que la cita de la página enlazada que me pegó en el de arriba es incorrecta. Lo que realmente le da un pernicioso malentendido / mito acerca de la $p$-valores. Se establece que la ecuación nos da la probabilidad de un valor experimental es debido a la casualidad. Esto es falso. En su lugar, este cálculo da la probabilidad de un valor que se extrae de esta distribución sería que los grandes o más grandes. Usted no sabe si su valor observado fue de este (null) la distribución o no, y el $p$-valor no es, definitivamente, la probabilidad de que la hipótesis nula es verdadera. Para obtener una comprensión más clara de $p$-valores, puede ayudar a leer este excelente CV hilo: ¿Cuál es el significado de los valores de p y t los valores en las pruebas estadísticas?

Answer 2

Los soportes son de la agrupación; simplemente están entre paréntesis aquí. Esto es $1 - \operatorname{CDF}_{\chi^2}(x^2; d)$.

Deje $\operatorname{PDF}_{\chi^2}(\cdot;d) = f(\cdot;d)$. Entonces

$$ f(t;d) \equiv \left( 2^\frac{d}{2} \operatorname{\Gamma}\left(\frac{d}{2} \right) \right)^{-1} t^{\frac{d}{2}-1} e^{-\frac{t}{2}} $$

así que

$$\begin{align} 1 - \operatorname{CDF}_{\chi^2}(x;d) &= 1 - \int_{-\infty}^x f(t)\,dt \\ &= \int_x^{\infty} f(t)\,dt \\ &= \int_x^\infty \left( 2^\frac{d}{2} \operatorname{\Gamma}\left(\frac{d}{2} \right) \right)^{-1} t^{\frac{d}{2}-1} e^{-\frac{t}{2}}\,dt \\ &= \left( 2^\frac{d}{2} \operatorname{\Gamma}\left(\frac{d}{2} \right) \right)^{-1} \int_x^\infty t^{\frac{d}{2}-1} e^{-\frac{t}{2}}\,dt \end{align}$$

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En cuanto a la declaración:

Es para calcular la probabilidad de que un valor de chi-cuadrado es debido a la casualidad.

Eso no es cierto.

Para cualquier variable aleatoria $X$, $\operatorname{CDF}(x) \equiv \operatorname{Pr}(X \leq x)$. Por lo $Q_{\chi^2,d}$ es realmente la probabilidad de que un chi-cuadrado variable aleatoria con $d$ grados de libertad se lleva a un valor menor que $\chi^2$, lo $\chi^2$ podría ser.

Una declaración más correcta sería:

Dado alguna prueba estadística de $T$ y un valor observado de la estadística de prueba de $t$, y dado que el $T \sim \chi^2(d)$ bajo la hipótesis nula de la prueba, es la probabilidad de que un $T$ al menos tan grande como $t$ podrían haber surgido por casualidad, mientras que la hipótesis nula es conocido para ser verdad.