Históricamente, ¿qué hicieron los matemáticos antes de aceptar el Axioma de Integridad?

Question

En el libro de texto "Cálculo Avanzado" por Patrick Fitzpatrick en la página 7 dice:

Se ha "conocido desde la antigüedad, no hay ningún número racional x que tiene la propiedad de $x^2=2$

Esto es en referencia a la polinomio $p(x)=x^2-2$ y tratando de resolver para las raíces.

En la página 8 del texto,

si r es la longitud de la hipotenusa de un ángulo recto del triángulo cuyos otros dos lados tienen longitud 1,$r^2=2$, y la longitud de la hipotenusa no es un número racional.

He encontrado esta página de la Wikipedia, lo que indica que la Integridad Axioma fue reconocido en el año 1817 por Bernard Bolzano.

Así que este axioma puede ser usado para reclamar el geométrica y algebraica de los problemas anteriores tienen respuestas que son irracionales.

Mi pregunta: ¿Qué hicieron los matemáticos hacer antes de 1817? Cuando se encontraron con el ángulo recto del triángulo o el polinomio anterior, ¿simplemente dicen que "no hay ningún número racional que es el$\sqrt{2}$, por lo que no podemos avanzar"?

Otra forma de poner la pregunta: ¿qué Lo llevó Bolzano a la Integridad Axioma y, ¿por qué tenemos que esperar hasta el año 1817, para que sea reconocido?

Answer 1

Primero de todos, el Axioma de Completitud es considerablemente más potente que la declaración de "la raíz cuadrada de $2$ existe". El Axioma de Completitud de las promesas de la existencia de cada número irracional. Antes de aceptar el Axioma, sería perfectamente razonable para un matemático aceptar que $\sqrt{2}$ existe pero negar la existencia de, por ejemplo, $\pi$.

Segundo, "reconoció la importancia de la" y "inventado" son cosas muy diferentes. Lo Bolzano hizo fue el aviso de que todo el mundo estaba usando este axioma, pero que nadie era ponerla en palabras. Mucho antes de Bolzano, la gente aceptó la existencia de irrationals; ellos simplemente no tienen un axioma para señalar y decir "este es el por qué".

Si queremos volver atrás lo suficientemente lejos que los números irracionales en realidad no eran aceptadas, tenemos que ir todo el camino de regreso a la antigua Grecia - tan pronto como usted tiene el Teorema de Pitágoras, se tiene que aceptar la existencia de $\sqrt{2}$ (a menos que usted esté de acuerdo con afirmar que los triángulos rectángulos isósceles no existe!). Antes de eso, los matemáticos sin duda hizo creer que no había tal número no puedo encontrar un recurso específicamente alegando que "no existe la raíz cuadrada de dos", pero los antiguos Griegos hicieron de trabajo, bajo el supuesto de "cada número es el cociente de dos números enteros".

Answer 2

Antes de finales del siglo 19, los matemáticos no tienen las mismas actitudes sobre el número de sistemas que hoy en día se les inculca a los matemáticos desde una edad temprana. No había deseo de definir el número de sistemas en términos de otros más fundamentales, tales como sistemas de la teoría de conjuntos. No había nada como el moderno consenso de que el número real del sistema fue de central importancia en comparación con los sistemas que eran más pequeños (los racionales) o más grandes (por ejemplo, la surreals o la hyperreals). Un típico libro de texto de cálculo en el siglo 19, se utiliza un sistema de numeración que incluye infinitesimals. La gente hablaba de "la línea" filosófico de la entidad, sin ningún reconocimiento de que podría haber una línea real, una verdadera línea, o topológicamente exóticas líneas.

Un matemático en la era de Gauss, por ejemplo, sería simplemente trabajar con "números", y no consideran que vale la pena preocuparse de si $\sqrt{2}$ fue un "número". La gente quería trabajar con la uniformidad de los sistemas matemáticos, pero no tiene nada de moderno de la lógica o el modelo de la teoría, de modo que, por ejemplo, no se habría producido a ellos para tratar de demostrar que los diferentes sistemas de numeración se equiconsistent.

Hay una idea falsa popular que nadie explícitamente construido los reales antes de Dedekind. De hecho, Simon Stevin (1548-1620) construido como infinito de decimales. Es sólo que nadie en esa época se considera que este tipo de cosas a ser particularmente importante o fructífera. También hay un argumento que Euclides en realidad inventó la línea real, porque hay un sentido en el que la geometría Euclidiana es exactamente equivalente a la teoría de los reales-aunque Euclides de la formulación original no fue hasta los modernos estándares de rigor, a diferencia de las formulaciones tales como Tarski los axiomas.

Answer 3

Era conocido antes del 500 antes de cristo por aquellos en la Escuela de Pitágoras que $\sqrt{2}$ no pudo ser expresado como una proporción de números enteros. Y que motivó la necesidad de lidiar con los números irracionales, es decir, con números que no eran los cocientes de enteros. Sin embargo, en general los intentos en la definición de los números irracionales no tuvieron éxito para el próximo 24 siglos, hasta finales de la década de 1800 cuando Georg Cantor se acercó con su axiomas de la Teoría de conjuntos. Intentos anteriores de postular la integridad, tales como el que usted ha mencionado--no ofrecen un riguroso fundación de los números irracionales. Así que este axioma no cambia nada. Incluso antes de este axioma, que la gente aceptó que usted podría encontrar un número racional que estaba tan cerca como usted quiere un número cuyo cuadrado se $2$. Decimal finito expansiones fueron suficientes para este propósito, y decimal infinita expansiones fueron concebidos antes de esto, aunque de una definición rigurosa no existe. El verdadero avance fue Cantor de la Teoría de conjuntos, que marcó el comienzo de la edad de rigurosa de las Matemáticas y de hecho decimal infinita expansiones riguroso.