Cuando es un resonador integral de pequeño?

Question

Espero que el título no es demasiado confuso. Mi pregunta es la siguiente: Todos sabemos la de Riemann-Lebesgue-Lema que indica que por $f\in L^1(\mathbb R)$, uno tiene $$ \lim_{k\to\infty} \int f(x)\,e^{ikx}\,dx=0. $$ Intuitivamente esto significa que la rápida oscilación de $e^{ikx}$ hace que la integral de los pequeños.

Pregunta: ¿Puede uno mostrar algo como $$\int f(x)\,e^{i\phi(x)}\,dx \leq \int f(x)\,e^{i\psi(x)}\,dx, $$ si $\phi>\psi$?

(o tal vez, si $\phi-\psi\geq\text{(some constant)}$ o así)

Gracias,

Frank

Answer 1

Si era cierto, la transformada de Fourier de una $L^1(\mathbb{R})$ función sería siempre mayor en $\mathbb{N}$. Esto es claramente falso, sólo considerando la $f(x)=e^{-x^2}$. Aviso que ni el opuesto de la desigualdad se mantiene, ya que nada de las fuerzas de la transformada de Fourier a ser monótono de alguna manera.