Cómo mostrar $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_n}{n}=2 \Rightarrow \lim\limits_{n\to\infty}(a_n-n)=\infty$?

Question

Me resulta difícil contestar a la pregunta siguiente. Yo no sé cómo usar el hecho de que $$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{n}=2.$$ tal vez con el límite de la aritmética?

Deje $(a_n)$ ser una secuencia, donde $$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{n}=2$$

Es correcto que $$\lim_{n\to\infty}(a_n-n)=\infty$$

Creo que es correcta, ya que desde el límite de la aritmética puedo llegar a la conclusión de que $$\lim_{n\to\infty}a_n=2\lim_{n\to\infty}n$$

Pero no puedo demostrarlo.

Gracias.

Answer 1

Sugerencia: Probar que $\dfrac{a_n}{n} > 1.5$ todos los $n$ lo suficientemente grande.

Solución:

Desde $\dfrac{a_n}{n} \to 2$, teniendo en $\varepsilon=0.5$, obtenemos que $\dfrac{a_n}{n} > 1.5$ todos los $n$ lo suficientemente grande. Esto implica que $a_n-n> 0.5 n$ todos los $n$ suficientemente grande y por lo $a_n -n \to \infty$.

Answer 2

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{n}=2$$

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{n} - \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n}= 1$$

Como su función es $${a_n - n}$$ el límite es

$$(\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{n} - \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n}) \cdot \lim_{n\to\infty} n = 1 \cdot \lim_{n\to\infty} n = \infty$$

Answer 3

para $\forall n>N_{\epsilon}: \mid(\frac{a_n}{n}-2)\mid<\epsilon$ que equivale a $\mid\frac{a_n-n}{n}-1\mid<\epsilon$, por lo tanto $1-\epsilon\leq\frac{a_n-n}{n}\leq1+\epsilon$. Como $n>0$ nos encontramos con $n-n\times\epsilon\leq{a_n-n}\leq n+n\times\epsilon$. A posteriori, elija ahora $\epsilon<\frac{1}{n^3}$ tendrá el resultado deseado como $n\times\epsilon<\frac{1}{n^2}<\epsilon_0$ si $n>\sqrt{\epsilon_0^{-1}}=N_{\epsilon_0}$. Aquí están.

Answer 4

Si $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_n}n=2$ $$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_n-n}n=1$$ desde $\frac{a_n-n}n = \frac{a_n}n-1$.

A partir de esto se obtiene $$\lim\limits_{n\to\infty} (a_n-n) = \lim\limits_{n\to\infty} n\cdot \frac{a_n-n}n = \infty\cdot1=\infty.$$

Answer 5

Primera nota de que $$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_n}{n}=2$$ Implica que $$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_n}{2n}=1$$ Lo que significa que $a_n$ $2n$ son asintóticamente equivalentes. Por lo tanto $$\lim\limits_{n\to\infty} \left(a_n-n\right)=\lim\limits_{n\to\infty} \left(2n-n\right)$$ $$=\lim\limits_{n\to\infty} n=\infty$$