Esto es una consecuencia de una muy útil cuyo lema general de la prueba es casi tan simple como ofrecer un punto fijo en este caso especial.
Supongamos que una función $F \colon \operatorname{En} \
\operatorname{A}$ es normal iff es estrictamente creciente
(es decir, $\alpha < \beta$ implica $F(\alpha) < F(\beta)$) y continua
(es decir, $F(\lambda) = \sup_{\alpha < \lambda} F(\alpha)$ de todos los límites de
ordinales $\lambda$).
La 'Función Normal Lema' unidos: Vamos a
$F \colon \operatorname{On} \to \operatorname{On}$ ser normal
la función. Luego, la clase
$F' := \{ \alpha \in \operatorname{On} \mid F(\alpha) = \alpha \}$ es
cerrado (es decir, si $(\alpha_{\xi} \mid \xi < \theta)$ es estrictamente una
el aumento de la secuencia de $F$-puntos fijos, entonces
$\alpha := \sup_{\xi < \theta} \alpha_{\xi}$ $F$- punto fijo)
y no acotada (es decir, para todos los $\alpha \in \operatorname{On}$ hay
algunos ordinal $\alpha < \beta$ tal que $F(\beta) = \beta$). Por otra parte,
para cualquiera de los ordinales (recordemos que los números ordinales son los cardenales)
$\omega \le \lambda$ hay arbitrariamente grandes puntos fijos de $F$
de cofinality $\lambda$.
Prueba.
Si $(\alpha_{\xi} \mid \xi < \theta)$ es estrictamente creciente
secuencia en la $F'$, luego
$$F(\sup_{\xi < \theta} \alpha_{\xi}) = \sup_{\xi < \theta}
F(\alpha_{\xi}) = \sup_{\xi < \theta} \alpha_{\xi}.$$
Por lo tanto es suficiente para demostrar que para cualquier regular el cardenal $\lambda \geq
\omega$ and any $\alpha_{0} \in \operatorname{A}$, hay algunos
$\alpha_{0} < \alpha$ tal que $F(\alpha) = \alpha$ $\alpha$ ha
cofinality $\lambda$: de forma recursiva construir una secuencia de $(\alpha_{\xi}
\mid \xi < \lambda)$ as follows. $\alpha_{0}$ es como el anterior y dado
$\alpha_{\xi}$, dejamos $\alpha_{\xi+1} := F(\alpha_{\xi})$. Si $\theta <
\lambda$ is a limit ordinal and $(\alpha_{\xi} \mid \xi < \theta)$ ha
ya se ha construido, deje que $\alpha_{\theta} := \sup_{\xi < \theta}
\alpha_{\xi}$. Finally, let $\alfa := \sup_{\xi < \lambda}
\alpha_{\xi}$. Since $(\alpha_{\xi} \mid \xi < \lambda)$ es estrictamente
en aumento, tenemos que $\operatorname{cf}(\alpha) =
\operatorname{cf}(\lambda) = \lambda$ y, además, por la
la construcción de la $(\alpha_{\xi} \mid \xi < \lambda)$,
$$
\begin{eqnarray*}
F(\alpha) &= \sup_{\beta < \alpha} F(\beta) \\
&= \sup_{\xi < \lambda} F(\alpha_{\xi}) \\
&= \sup_{\xi < \lambda} \alpha_{\xi +1} \\
&= \alpha.
\end{eqnarray*}
$$
Desde $\alpha_{0} < \alpha_{1} < \alpha$, la demanda de la siguiente manera. QED
En su caso, el rango de $F$ constists sólo de cardenales (que es trivial para $F(\alpha +1)$ y sigue para $F(\lambda)$, $\lambda$ límite, porque los límites de los cardenales son los cardenales). Por lo tanto, en su caso, cualquier punto fijo es un cardenal. Esto no es general para las funciones normales.
