La geometría de la pregunta con rectángulos pura curiosidad

Question

Disculpas de antemano, realmente no puedo pensar en una inteligente o fácil manera de explicar esto.

Usted comienza con un rectángulo. A continuación, se dibuja una línea recta de un derecho de esquina en ángulo de 45 grados hasta llegar a un lado del rectángulo en el cual se refleja la línea a 90 grados y continuar la línea. Repita este proceso hasta que la línea pasa a un segundo de la esquina.

Lo siento si la imagen es difícil de imaginar.

Si se agrega la longitud y el ancho del rectángulo (siempre que ambos son enteros y no tienen factores comunes) que es el número de puntos de contacto de las líneas con el contorno del rectángulo: (las paredes y las 2 esquinas)

Si las longitudes no son enteros, entonces usted tiene que hacer a continuación, enteros antes de añadirlas por ejemplo. 0.2 cm y 0,3 cm = 2cm y 3cm. O si tienen factores, a continuación, factorise ellos por ejemplo. 6 cm y 4 cm = 3 cm y 2 cm

PREGUNTA Si alguien entiende de todo esto, ¿alguien puede explicar si y por qué esto es cierto para cada rectángulo? Es sólo una coincidencia, o hay matemáticas detrás de ella que no la puedo encontrar? Y puede funcionar si una de las longitudes fue un número irracional como pi?

Answer 1

Imaginar mosaico del avión con los rectángulos. A continuación, en lugar de reflexionar, sólo seguir adelante a través de ellos. Usted está preguntando dónde le golpeó la imagen de una de las esquinas. Si los rectángulos se $m$ $n$ amplia con $m,n$ coprime, usted irá a través de $n$ rectángulos hacia arriba y $m$ rectángulos hacia la izquierda hasta llegar a punto de $(mn,mn)$

Si la relación de longitudes es irracional, usted nunca llegará a otra esquina. El mismo suelo de baldosas argumento de la muestra.