Deje $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\space \space \space f(x)=\left\{\begin{array}{lc}x^2-2x,&x\leq0\\-x^2-2x,&x>0\end{array}\right.$. Encontrar $(f^{-1})'(3)$.
Mi intento:
En primer lugar, es fácil ver que $f(x)$ es inyectiva $\forall x \in \mathbb{R}.$ Al hacer la primera derivada de la tabla podemos ver que $Im_f=\mathbb{R}.$ entonces $f$ es surjective y, a continuación, $f$ es bijective y tiene una inversa de la función.
$$f^{-1}(f(x))=x$$
la diferenciación de ambos lados obtenemos que $(f^{-1}(f(x)))'=\frac 1{f'(x)}$.
$f(x)=3\implies x = -1$ solución única para, a continuación, $\boxed{(f^{-1})'(3)=\frac 1{f'(x)}=-\frac 14}$
Segunda solución: (que yo no entiendo realmente lo que sucede aquí)
Quiero definir $f^{-1}(x).$
Primer caso ($x\leq0):$
$\implies f(x)=x^2-2x \space \space \space \forall x\leq0.$
$$f^{-1}(x)=\pm\sqrt{x+1}+1 \space\space\space \forall x\geq -1.$$
así, entonces: $f^{-1}(x)=\pm\sqrt{x+1}+1 \space \space \space \forall \space x\in[-1,0]?$ También cuando hacemos uso de la $+$ e la $-$ para la raíz cuadrada?
Segundo caso ($x>0$):
$\implies f(x)=-(x+1)^2+1\implies f^{-1}(x)=\pm\sqrt{1-x}-1 \space \space \space \forall x\in(0,1]?$ misma pregunta acerca del signo de la raíz cuadrada.
así entonces tenemos
$$\boxed{f^{-1}(x)=\left\{\begin{array}{lc}\pm\sqrt{x+1}+1,&x\in\lbrack-1,0\rbrack\\\pm\sqrt{1-x}-1,&x\in(0,1\rbrack\end{array}\right.}$$
Pero diferenciando es que no podemos encontrar $(f^{-1})'(3)$. Pero $f^{-1}(x)$ debe ser definido en todas las $\mathbb{R}$..
Así que... ¿Qué estoy haciendo mal? Lo que realmente está sucediendo aquí?
También cuando intento gráfico ellos:
Podemos ver que $f^{-1}(x)$ toma sólo valores en $[-1,1]$.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La dificultad parece ser la escritura de la $f^{-1}(x)$.
Para resolver esta cuestión, hemos de considerar por separado el rango de $f$ , porque es en ese rango de $f^{-1}$ puede ser definido.
Veamos $x^2 - 2x$$x \leq 0$. Como $x$ disminuye, esto va a $+ \infty$. El mimimum de esta función es $x = 0$, con el valor de $0$. Por lo que esta pieza de la función de su rango $[0,\infty)$.
Siguiente, $-x^2-2x$$x > 0$. Claramente, como $x \to \infty$, esto va a $-\infty$. Además, este es igual a $-x(x+2)$, y como $x \to 0$ esto se aproxima a cero. Por lo tanto,el rango de esta función es exactamente $(-\infty,0)$.
Por lo $f$ es surjective. También es inyectiva, como se ve por usted.
Ahora bien, dado $y \in \mathbb R$, supongamos $y \geq 0$. A continuación, $y$ está en el rango de la primera pieza, por lo que no es$x \leq 0$, de modo que $x^2 - 2x = y$. Completando el cuadrado y resolver, $x = 1 \pm \sqrt{y+1}$, pero desde $x \leq 0$ debemos tener $-$, no $+$ en la respuesta. Por lo tanto, $x = 1 - \sqrt{y+1}$, lo $f^{-1}(y) = 1 - \sqrt{y+1}$.
Del mismo modo, si $y < 0$, $y$ está en el rango de la segunda pieza, por lo que no es $x \geq 0$ tal que $-x^2 - 2x = y$. De problemas, $x = -1 \pm \sqrt{1-y}$, pero queremos que $x \geq 0$ por lo que el signo es $+$$-$, por lo tanto $f^{-1}(y) = -1 + \sqrt{1-y}$.
En consecuencia, tenemos : $$ f^{-1}(y) = \begin{cases} 1 - \sqrt{y+1} \quad y \geq 0 \\ \sqrt{1-y} - 1 \quad y < 0 \end{casos} $$
Desde $3$ pertenece a la primera pieza, $f^{-1}$ es diferenciable en a $3$, y el derivado $\frac {-1}{2 \sqrt{y+1}} = \frac {-1}4$ en el punto de $3$.
Su error fue no saber que signo, $\pm$ a elegir entre los dos cuadrática soluciones.
Para obtener el significado de el gráfico verde, tenga en cuenta que si $x = y^2 - 2y$ para algún número real $y$$x +1 = y^2 - 2y + 1 \geq 0$$x \geq -1$. Esta es la razón por la que el gráfico no ir detrás de $x = -1$ : no tiene soluciones reales por encima de ese punto. Puesto que ya han restringido $x \leq 0$, el gráfico verde se limita a $-1 \leq x \leq 0$. Algo similar sucede con el amarillo de la gráfica.
Ninguna de estas es una inversa de todos modos : $x = y^2 - 2y$ es no la gráfica de la inversa de la función de $y = x^2 - 2x$. Este es un concepto erróneo.
Usted puede gráfico de $f^{-1}$ para ver la exactitud de la respuesta.
En primer lugar, su primera solución es correcta.
En cuanto al segundo enfoque: vamos a definir una variable auxiliar que se $y := f(x)$. Esto ayudará a evitar la confusión entre los diferentes dominios. Así que, veamos los dos casos.
Caso 1: $x \leq 0$. En este caso, tenemos $y = x^2-2x$ y queremos encontrar una formulación $f = g(x)$. Vamos a proceder. Completando el cuadrado nos da $y = (x-1)^2 -1$ o $y+1 = (x-1)^2$. De ello se desprende que $x = \pm \sqrt{y+1}+1$ y (recuerda) $x \leq 0$. Por lo tanto, se tiene el uso de la raíz cuadrada negativa. Por lo tanto $x = g(y) = -\sqrt{y+1}+1$$y \geq 0$.
Como usted dijo, $y$ es bijective, por lo tanto usted puede simplemente evaluar la derivada de la $g$ en el punto de $y = 3$. Sigue $$ g'(y) = -\frac{1}{2\sqrt{y+1}}. $$ Por lo tanto,$g'(3) = -\frac{1}{4}$, como en el anterior.
Caso 2: es innecesaria dado que la función es bijective.
