Demostrar que $\lvert f(2x) - f(x) \rvert \leq \lvert x \rvert$ todos los $x\in\mathbb{R}$.

Question

Supongamos que $f$ se define en $\mathbb{R}$ y satisface $f^\prime(x) = \sin(x^2 + f(x)^2)$ todos los $x\in \mathbb{R}$. Demostrar que $\lvert f(2x) - f(x) \rvert \leq \lvert x \rvert$ todos los $x\in\mathbb{R}$.

Honestamente, no tengo idea de cómo empezar este ejercicio... alguien Puede darme una pista de lo que el teorema o la idea de pensar primero en que me ayude a empezar?

Answer 1

Por el valor medio teorema, $$|f(2x)-f(x)| \le |x|\sup_{t \in [x,2x]} |f'(t)| \le |x|$$

Answer 2

Por el bien de la variedad: integramos ambos lados de la igualdad y utilizar el teorema fundamental del cálculo. Tenga en cuenta que podemos ver $f'$ es integrable, ya que se trata de una composición de funciones continuas, incluyendo la $f$ sí mismo y por lo tanto es continua. Vamos a integrar sobre cerrado intervalos. Además, la FTC se aplica.

Vamos $x\in \mathbb{R}$, $x\geq 0$, entonces $$ |f(2x)-f(x)|=\left| \int_x^{2x}f'(t)\;\mathrm dt\right|\stackrel{\text{triángulo ineq.}}\leq \int_x^{2x}|f'(t)|\;\mathrm dt\\ \leq\int_x^{2x}\mathrm dt=x $$ si $x<0$, luego tenemos $$ |f(2x)-f(x)|=\left| \int_x^{2x}f'(t)\;\mathrm dt\right|=\left| \int_{2x}^{x}f'(t)\;\mathrm dt\right|\\\stackrel{\text{triángulo ineq.}}\leq \int_{2x}^x|f'(t)|\;\mathrm dt\\ \leq\int_{2x}^x\mathrm dt=-x $$ y la desigualdad de la siguiente manera.