la comprensión de $\mathbb{R}$/$\mathbb{Z}$

Question

Estoy teniendo problemas para entender el factor grupo, $\mathbb{R}$/$\mathbb{Z}$, o tal vez yo no lo soy. Aquí es lo que estoy pensando.

Bien, así que tengo un grupo de $G=(\mathbb{R},+)$, y tengo un subgrupo $N=(\mathbb{Z},+)$. Entonces me formulario de $G/N$. Así que esta cosa identifica cualquier número real $x$ con los enteros que son exactamente 1 unidad de un paso de distancia. Así que si $x=\frac{3}{4}$, $[x]=({...,\frac{-5}{4},\frac{-1}{4},\frac{3}{4},\frac{7}{4},...})$ y yo no puedo hacer esto para cualquier número real. Por lo tanto, mi cosets son la unidad de los intervalos de $[0,1)+k$, para los números enteros $k$. Herstein llama esta cosa de un círculo y yo no estaba seguro de por qué, pero he aquí mi intuición. La unidad de intervalo es esencialmente cerrado y dado que cada número real más un entero que identifica consigo mismo, estos "círculos" siguen acumulándose en la parte superior de uno al otro como si su un intervalo cerrado. Ya que es cerrado un círculo. ¿Que sentido?

Ahora, ¿cómo puedo extender esta intuición a esto?
$G'=[(a,b)|a,b\in{\mathbb{R}}], N'=[(a,b)|a,b\in{\mathbb{Z}}].$ Lo $G'/N'$? ¿Cómo es un toro? Yo no puedo conseguir una imagen intuitiva en mi cabeza...

EDIT: en Realidad, son los cosets, simplemente, $[x]=[x\in{\mathbb{R}}|x+k,k\in{\mathbb{Z}}]?$

Answer 1

Una prueba que $\mathbb R/\mathbb Z$ es isomorfo al grupo de la unidad de módulo del número complejo (vamos a llamar a $G$), que es un círculo, ¿no?

Vamos a probar el isomorfismo. Tome $\varphi : \mathbb R \rightarrow G$ definido por $\varphi(\theta) = e^{2\pi i\theta}$. Tenemos $\varphi(\theta + \theta') = e^{2\pi i(\theta+\theta')} = e^{2\pi i\theta}e^{2\pi i\theta'} = \varphi(\theta)\varphi(\theta')$, por lo que este es de hecho un homomorphism. $\varphi$ es surjective, y $\varphi(\theta) = 1 \Leftrightarrow 2\pi\theta = 2k\pi (k\in\mathbb Z)$, lo $ker(\phi) = \mathbb Z$.

Por el primer teorema de isomorfismo, $\mathbb R/\mathbb Z \simeq G$.

En cuanto a tu segunda pregunta, trate de imaginar este: tome una hoja cuadrada de 1x1, y unir los bordes opuestos de modo que se obtiene un toro. $G'/N'$ es exactamente la misma construcción: identificar los 'puntos'$(+\infty,0)$$(-\infty,0)$$(0,+\infty)$$(0,-\infty)$.

Espero que esto te aclare un poco!

Answer 2

Usted también puede usar los siguientes hechos agradables. Espero que estén inspirados por ellos.

$$\mathbb R/\mathbb Z\cong T\cong\prod_p\mathbb Z(p^{\infty})\cong\mathbb R\oplus(\mathbb Q/\mathbb Z)\cong\mathbb C^{\times}$$