Es $\ln(x^{p(x)}) = p(x) \ln(x)$?

Question

Estoy tratando de probar que:

$x^{\frac{\ln(\ln(x))}{\ln(x)}} = \ln(x)$

Mi "solución":

$e^{\ln\left(x^{\frac{\ln(\ln(x))}{\ln(x)}}\right)} = e^{\frac{\ln(\ln(x))}{\ln(x)} \ln(x)} = e^{\ln(\ln(x))} = \ln(x)$

Es el primer paso válido, yo.e es $\ln(x^{p(x)}) = p(x) \ln(x)$

¿Cómo puedo averiguar por mí mismo?

Answer 1

$$x^{\frac{\ln(\ln(x))}{\ln(x)}}$$ $$=x^{\log_x(\ln(x))}$$ $$=\ln(x)^{\log_x(x)}$$ $$=\ln(x)$$

Answer 2

Dado $\displaystyle x^{\frac{\ln(\ln x)}{\ln x}}\;,$ Ahora Vamos A $\ln x= y\Rightarrow x=e^y$

Así que la expresión convertir en $\displaystyle e^{\frac{y\ln y}{y}} = e^{\ln y} = y = \ln x$

Tenga en cuenta que $\ln(x)^{p(x)} = p(x)\cdot \ln x\;,$ Donde $x>0$

Answer 3

Responder a la pregunta. Para $a>0$ tenemos por definición de logaritmo que $$ a^b=e^{\ln(a^b)}. $$ y en el otro lado $$ a^b=(e^{\ln})^b=e^{b\ln} $$ La comparación de dos expresiones, y observando que la función exponencial es inyectiva tenemos $$ \ln(a^b)=b\ln a. $$ Ahora aplicarlo a $a=x$$b=p(x)$.

Answer 4

Vamos $y$ = $ln(x)$ Así $x^{ln(y)/y}$ = $y$ Tome ln ambos lados y simplificar el uso de la propiedad: $ln(x^{ln(y)}/y)$ = $ln(y);ln(x)/y$. así $ln(y)ln(x)/y$ = $ln(y)$ Tenemos $ln(y)y/y$ = $ln(y)$