Estudiante estadístico de prueba y el auto de la normalización de la suma.

Question

Yo estudio la distribución asintótica de auto de la normalización de las sumas que se define como $S_n/V_n$ donde

$S_n=\sum_{i=1}^n X_i$ $V_n^2 = \sum_{i=1}^n X_i^2$

para algunos que yo.yo.d RV $X_i$.

La motivación para el estudio de tales sumas viene del hecho de que el clásico Estudiante $T_n$ estadística puede ser expresada como:

$T_n(X)= \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\sqrt{\frac{n}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\overline X)^2}} = \frac{S_n/V_n}{\sqrt{\frac{1}{n-1}(n - (S_n/V_n)^2)}}$

Del papel que estudio (http://arxiv.org/pdf/1204.2074v2.pdf) yo sé que:

Si $T_n$ o $S_n/V_n$ tiene una distribución asintótica, luego lo hace el otro, y coinciden.

pero no parece trivial para mí. Puede alguien explicar?

No estoy seguro si es sólo mostrar que el denominador es igual a 1 en la probabilidad y el uso de la Slutsky-Teorema?

https://de.wikipedia.org/wiki/Slutsky-Theorem

Answer 1

Los autores de referencia en 1969 papel por Efron. La sección pertinente en Efron parece ser una referencia a lo que en ese momento era un documento no publicado, por Logan, Mallows, Arroz y Shepp (ver pág.16, último párrafo de Efron).

Sin embargo, el artículo que usted está leyendo darle el papel, publicado en 1973 :el Límite de las distribuciones de auto-normalizado sumas. Ellos hacen referencia a la Efron del 1969 papel, donde se utiliza de Fisher encontrar que el t-estadístico es asintóticamente normal en el 0 significa hipótesis tan largo como el vector de variables aleatorias tienen simetría rotacional.

Answer 2

Los autores afirman que puede ser probada mediante la Skorohod teorema de representación. Para probar una dirección: si la relación de $R_n:=S_n/V_n$ converge en distribución a un límite de $R$, entonces no existen variables $R_1^*, R_2^*, \ldots$ $R^*$ con el mismo distribuciones como $R_1, R_2,\ldots$$R$, respectivamente, tal que $R_n^*\to R^*$ casi seguramente. La identidad $$ T_n = \frac{R_n}{\sqrt{\frac{1}{n-1}(n - R_n^2)}}\tag1$$ (nota tiene un error en la fórmula), a continuación, muestra que la correspondiente definidas $T_n^*$ converge a.s. a $R^*$, y por lo tanto $T_n$ converge en distribución a $R$.

Por el contrario, podemos reordenar (1) para solucionar de $R_n$: $$ R_n = {T_n\\sqrt{\frac 1n(n-1+T_n^2)}}\tag2 $$ (por favor marque mi álgebra). En vista de (2) es claro que si $T_n$ converge a.s. para un límite de $R$, entonces también lo hace $R_n$.