Cómo solucionar $f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=e^{x+\frac{1}{x}}$

Question

Dado que el $f:\mathbb{R}_0 \rightarrow \mathbb{R}_0$ encontrar $f$ que $$f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=e^{x+\frac{1}{x}}$$

Tenga en cuenta que se me ocurrió esta pregunta, y personalmente no estoy seguro de que no existe una solución de forma cerrada, como mis esfuerzos parecían ineficaces.

Las únicas cosas que creo que puedo decir es que $f(1)=\frac{e^2}{2}, f(-1)=\frac{1}{2e^2}$.

Si no existe ninguna forma cerrada de la solución, agradecería algo más de información sobre $f$, tales como si es diferenciable.

Answer 1

Habrá un gran número de soluciones, pero uno obvio es $$f(x)=\tfrac{1}{2}e^{x+\frac{1}{x}}$$ for $x \ = 0$

Más en general, a hacer todo $g(x)$ y definen $f(x)=g(x)$ al $|x| \gt 1$ $f(x)=e^{x+\frac{1}{x}} - g\left(\tfrac{1}{x}\right)$ al $0 \lt |x| \lt 1$, además de las observaciones que han hecho. $f(0)$ es arbitrario