Solucionar $\cos \frac{4x}{3}=\cos x+1$

Question

Resolver la ecuación \begin{equation} \cos \frac{4x}{3}=\cos x+1\tag 1\end{equation}

Había intentado por tomar $\cos\dfrac x3=t$ y a partir de esto, hemos $\displaystyle\cos\frac{4x}3=2\left(2t^2-1\right)^2-1; \cos x=4t^3-3t$

$(1) \iff t\left(8t^3-4t^2-8t+3\right)=0$

Pero no puedo solucionar $8t^3-4t^2-8t+3=0$ porque me da el aproximado de raíces cuando necesito raíces exacta

Answer 1

SUGERENCIA:

Aviso, hemos $$\cos \frac{4x}{3}=\cos x+1$$ Let, $x=3t$ , obtenemos $$\cos 4t=\cos 3t+1$$ $$2\cos^2 2t-1=4\cos^3 t-3\cos t+1$$ $$2(2\cos^2 t-1)^2-4\cos^3 t+3\cos t-2=0$$ $$8\cos^4 t-8\cos^2t+2-4\cos^3 t+3\cos t-2=0$$ $$\cos t(8\cos^3 t-4\cos^2t+2-8\cos t+3)=0$$

$$\iff \cos t=0\iff t=\frac{\pi}{2}\iff x=\frac{3\pi}{2}$$

$$\iff 8\cos^3 t-4\cos^2t+2-8\cos t+3=0$$ Se puede resolver esta ecuación cúbica para $\cos t$?

Answer 2

Hay un trigonométricas método para resolver ecuaciones cúbicas. No muy agradable, pero factible. La aplicación del método para el caso de $$8t^3-4t^2-8t+3=0$$ Using $A=-\frac{1}{2}$, $B=-1$, $C=\frac{3}{8}$, $Q=-\frac{13}{36}$, $R= -\frac{43}{432}$, $D=-\frac{257}{6912}$, $$\theta= \cos ^{-1}\left(-\frac{43}{26 \sqrt{13}}\right)$$ the solutions are then $$t_1=\frac{1}{6}+\frac{\sqrt{13}}{3} \cos \left(\frac{\theta }{3}\right)$$ $$t_2=\frac{1}{6}+\frac{\sqrt{13}}{3} \cos \left(\frac{\theta +2\pi}{3}\right)$$ $$t_3=\frac{1}{6}+\frac{\sqrt{13}}{3} \cos \left(\frac{\theta +4\pi}{3}\right)$$As Jack D'Aurizio pointed it out, $t_1 \gt 1$ debe ser desechado.