El conjunto cero de $z_0^2+z_1^2-1$ en $\mathbb{C}^2$ .

Question

Recientemente, he leído los apuntes "Paquetes vectoriales sobre superficies de Riemann" de Sabin Cautis ( http://www-bcf.usc.edu/~cautis/classes/notes-bundles.pdf ). En la sexta página de estas notas, hay una afirmación sin ninguna explicación al respecto: "Por ejemplo, $z_0^2+z_1^2-1 = 0 $ es isomorfo (como colector complejo) a $\mathbb{C}$ ." Se trata del conjunto cero de este polinomio en $\mathbb{C}^2$ .

Como no conseguí encontrar una prueba de esta afirmación en el tiempo disponible, lo discutí con algunos colegas tomando unas cervezas, una noche. Aunque se intentaron aproximaciones, no llegamos a ninguna parte. El enfoque que parecía más prometedor es demostrar que el conjunto cero dado es simplemente conexo y luego invocar el teorema de la uniformización. Al determinar el grupo de automorfismo, podríamos averiguar que efectivamente es $\mathbb{C}$ . ¿Sería este enfoque capaz de resolver la cuestión? (es decir, ¿puede alguien completar los detalles?) Y si no, ¿cómo podría demostrarse la afirmación de otra manera?

Observación. Este conjunto de ceros parece, por supuesto, muy parecido a una esfera a primera vista, pero la ausencia de $|$ evita esto.

(No me extrañaría que esta pregunta estuviera ya en este sitio, en cuyo caso no la he encontrado y agradecería un enlace t)

Answer 1

La afirmación es simplemente falsa. Tal y como se ha solicitado, he aquí una ampliación de mi comentario anterior.

Denoto por $Z(z_0^2+z_1^2-1) \subset \Bbb{C}^2$ el lugar de fuga del polinomio $z_0^2+z_1^2-1$ .

Consideremos el cambio lineal de coordenadas $$ z_0 \mapsto \frac{1}{2} \left(\frac{w_0}{1+i}+w_1 \right) $$ $$ z_1 \mapsto \frac{-i}{2}\left(\frac{w_0}{1+i}-w_1 \right) $$ Esto da un isomorfismo de la variedad compleja $Z(z_0^2+z_1^2-1)$ en la hipérbola $Z(w_0w_1-1)$ . Ahora tenemos claramente $$ Z(w_0w_1-1)=\{(t,t^{-1}) \ \; \vert \; t \in \Bbb{C}^*\} $$ La proyección sobre el primer factor da el isomorfismo deseado de $Z(w_0w_1-1)$ con $\Bbb{C}^*$ y $\Bbb{C}^*$ no es claramente isomorfo a $\Bbb{C}$ Por ejemplo $\Bbb{C}$ está simplemente conectado, mientras que $\Bbb{C}^*$ no lo es. Por lo tanto, podemos concluir que $Z(z_0^2+z_1^2-1)$ no es isomorfo a $\Bbb{C}$ también.

Answer 2

La variedad $z^2+w^2=1$ es una cónica lisa que por la fórmula grado-genio es de género cero. Cualquier curva afín es isomorfa a $\mathbb{C}$ .