Dada una matriz $A$, demuestran que es positivo.

Question

Mostrar que $$A := \begin{bmatrix}7 & 2 & -4\\2 & 4 & -2\\-4 & -2 & 7 \end{bmatrix}$$ es positiva definida.

Este podría ser probada por mostrar que cada uno de los vectores de la base estándar da un resultado positivo, por ejemplo:

$$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}7 & 2 & -4\\2 & 4 & -2\\-4 & -2 & 7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} > 0.$$

La segunda parte de la pregunta me pide diagonalize la matriz mediante una matriz ortogonal, que como yo lo entiendo, es el uso de matrices elementales sobre las filas y columnas de la matriz a llegar a una forma diagonal. Habría que hacer una diferencia si Ifirstly sólo se ocupa de las filas y sólo posteriormente utilizado la misma matrices sólo en las columnas?

Gracias por su tiempo.

Answer 1

Este artículo ofrece varios métodos para comprobar la positividad.

La comprobación de positividad en los vectores de la base no funciona. Para el ex. considere la posibilidad de $A = \begin{bmatrix}1 & 5 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$. $x^t A x > 0 $ para $x \in \{e_1,e_2\}$. Pero, sus autovalores son $6, -3$ !

Answer 2

No, la comprobación de que el estándar no garantiza positiva la certeza de que su producto escalar. Funcionaría si la norma era la base ortogonal con respecto a su forma bilineal (esto es Sylvester del teorema): pero, en nuestro caso, esto es equivalente a tener la matriz que se diagonal. Por definición, un $n\times n$ matriz es positiva definida si su firma es $(n,0,0)$. La primera entrada en la firma se define como el número de vectores $v$ en una base ortogonal (con respecto a la forma representada por la matriz) tal que $\langle v,v\rangle>0$; la segunda entrada es el número de $v$ tal que $\langle v,v\rangle<0$; el último es el número de $v$ tal que $\langle v,v\rangle=0$. Sylvester teorema garantiza que esta definición, de hecho, tiene sentido: de hecho, se dice que la firma de una matriz es el mismo, no importa lo que ortogonal base que elijamos.

A diagonalize un formulario, es el mismo que para encontrar una base ortogonal. De hecho, cuando usted tiene una base ortogonal, la matriz asociada a la forma con respecto a la base es la diagonal.

Así que, para solucionar parte del ejercicio, puede orthogonalize el estándar de base, obtener una nueva base, decir $\{\,v_1, \dots, v_n\,\}$. Luego de su diagonal de la matriz es la matriz que tiene en la diagonal de los valores de $\langle v_i,v_i\rangle$; y tener la certeza positiva si todos los elementos en la diagonal son positivos.

Answer 3

Es easyiest que acaba de encontrar los valores propios de la matriz y mostrar que ellos son positivos.

Answer 4

Estoy asumiendo que estamos pensando en $\Bbb R^3$.

Si usted tiene $v=\sum \alpha_ib_i$ escrita en términos de una base de vectores columna $b_i$, luego

$$ v^\top Av=(\sum_i \alpha_ib_i^\top)A(\sum_j \alpha_jb_j)=\sum_{i,j}\alpha_i\alpha_jb_i^\la parte superior Ab_j $$

Claramente los términos de la diagonal ($\alpha_i^2 b_i^\top A b_i\geq 0$) pero veo que hay algunas posibilidades para los negativos entre los términos con $i\neq j$.

Las dos herramientas principales son Sylvester criterio o la comprobación de valores propios. Sylvester criterio borra este uno de los más rápidamente.

Answer 5

Hay un corto y agradable posibilidad alternativa para demostrar que su matriz es positiv definit (sin mucho cálculo):

1. El determinante de su matriz se $108\neq 0$, por lo tanto $0$ es no un autovalor.
2. Esta matriz es simétrica, por lo tanto todos los valores propios son reales
3. Ahora Gershgorin círculo teorema da que el espectro de su matriz tiene $\sigma(A)\subset \left[0,13\right]$

Todos juntos tenemos: Todos los autovalores son positiv!