cómo resolver esta EDP

Question

Cómo encontrar la solución general de las EDP

$$\frac{^2u}{x^2}-\frac{^2u}{y^2}=x^2y^y$$

el problema es el término $y^y$ en la ecuación. ¿Puedo resolverla transformándola en la forma canónica? Lo he intentado pero me lleva a una ecuación complicada. Por favor, ayuda de los expertos, muchas gracias.

así que creo que podemos escribir la solución general en forma

$$u(x,y) = \xi(y+x) + \eta(y-x) + \int x^2y^yd(y+x)d(y-x)$$ ??

Answer 1

Hay varios enfoques que pueden resolver esta EDO lineal no homogénea.

Acérquese a $1$ : transformaciones de variables clásicas

Dejemos que $\begin{cases}p=x+y\\q=x-y\end{cases}$ ,

Entonces $\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial u}{\partial p}\dfrac{\partial p}{\partial x}+\dfrac{\partial u}{\partial q}\dfrac{\partial q}{\partial x}=\dfrac{\partial u}{\partial p}+\dfrac{\partial u}{\partial q}$

$\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial u}{\partial p}+\dfrac{\partial u}{\partial q}\right)=\dfrac{\partial}{\partial p}\left(\dfrac{\partial u}{\partial p}+\dfrac{\partial u}{\partial q}\right)\dfrac{\partial p}{\partial x}+\dfrac{\partial}{\partial q}\left(\dfrac{\partial u}{\partial p}+\dfrac{\partial u}{\partial q}\right)\dfrac{\partial q}{\partial x}=\dfrac{\partial^2u}{\partial p^2}+\dfrac{\partial^2u}{\partial pq}+\dfrac{\partial^2u}{\partial pq}+\dfrac{\partial^2u}{\partial q^2}=\dfrac{\partial^2u}{\partial p^2}+2\dfrac{\partial^2u}{\partial pq}+\dfrac{\partial^2u}{\partial q^2}$

$\dfrac{\partial u}{\partial y}=\dfrac{\partial u}{\partial p}\dfrac{\partial p}{\partial y}+\dfrac{\partial u}{\partial q}\dfrac{\partial q}{\partial y}=\dfrac{\partial u}{\partial p}-\dfrac{\partial u}{\partial q}$

$\dfrac{\partial^2u}{\partial y^2}=\dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{\partial u}{\partial p}-\dfrac{\partial u}{\partial q}\right)=\dfrac{\partial}{\partial p}\left(\dfrac{\partial u}{\partial p}-\dfrac{\partial u}{\partial q}\right)\dfrac{\partial p}{\partial y}+\dfrac{\partial}{\partial q}\left(\dfrac{\partial u}{\partial p}-\dfrac{\partial u}{\partial q}\right)\dfrac{\partial q}{\partial y}=\dfrac{\partial^2u}{\partial p^2}-\dfrac{\partial^2u}{\partial pq}-\dfrac{\partial^2u}{\partial pq}+\dfrac{\partial^2u}{\partial q^2}=\dfrac{\partial^2u}{\partial p^2}-2\dfrac{\partial^2u}{\partial pq}+\dfrac{\partial^2u}{\partial q^2}$

$\therefore\dfrac{\partial^2u}{\partial p^2}+2\dfrac{\partial^2u}{\partial pq}+\dfrac{\partial^2u}{\partial q^2}-\left(\dfrac{\partial^2u}{\partial p^2}-2\dfrac{\partial^2u}{\partial pq}+\dfrac{\partial^2u}{\partial q^2}\right)=\left(\dfrac{p+q}{2}\right)^2\left(\dfrac{p-q}{2}\right)^{\frac{p-q}{2}}$

$4\dfrac{\partial^2u}{\partial pq}=\dfrac{(p+q)^2(p-q)^{\frac{p-q}{2}}}{4\times2^{\frac{p-q}{2}}}$

$\dfrac{\partial^2u}{\partial pq}=\dfrac{(p+q)^2(p-q)^{\frac{p-q}{2}}}{16\times2^{\frac{p-q}{2}}}$

$u(p,q)=f(p)+g(q)+\dfrac{1}{16}\int_b^q\int_a^p\dfrac{(s+t)^2(s-t)^{\frac{s-t}{2}}}{2^{\frac{s-t}{2}}}ds~dt$

$u(x,y)=f(x+y)+g(x-y)+\dfrac{1}{16}\int_b^{x-y}\int_a^{x+y}\dfrac{(s+t)^2(s-t)^{\frac{s-t}{2}}}{2^{\frac{s-t}{2}}}ds~dt$

Acérquese a $2$ : El principio de Duhamel

Con referencia a http://en.wikipedia.org/wiki/Duhamel%27s_principle#Wave_equation y http://en.wikipedia.org/wiki/Wave_equation#Inhomogeneous_wave_equation_in_one_dimension tenemos $u(x,y)=f(x+y)+g(x-y)+\dfrac{1}{2}\int_0^x\int_{y-x-s}^{y+x-s}s^2t^t~dt~ds$ o $u(x,y)=f(x+y)+g(x-y)-\dfrac{1}{2}\int_0^y\int_{x-y-t}^{x+y-t}s^2t^t~ds~dt$

Acérquese a $3$ : Ver la respuesta de achille hui

Answer 2

No sé cómo resolver esto de manera matemáticamente elegante. Aquí está mi especie de solución fea.

Dado que la R.H.S de la PDE consiste en una sola potencia en $x$ , voy a reescribir $u(x,y)$ como una antigua serie de poder en $x$ con funciones de $y$ como coeficientes:

$$ u(x,y) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n(y) x^n$$

y busca la simplificación. La EDP se convierte en:

$$ \sum_{n=0}^{\infty} \left((n+1)(n+2) a_{n+2}(y) - a_{n}''(y) \right) x^n = y^y x^2$$

Para los coeficientes de los pares $n$ tenemos:

$$\begin{align} 2\;a_2(y) - a_0''(y) &= 0\\ 12\;a_4(y) - a_2''(y) &= y^y\tag{*}\\ 30\;a_6(y) - a_4''(y) &= 0\\ &\;\vdots \end{align}$$

Como la EDP es lineal, nos basta con encontrar una solución particular para el caso inhomogéneo. Observando $(*)$ La forma más sencilla de conseguirlo es establecer $a_n(y) = 0$ para todos $n \ne 0, 2$ . Sea $F$ como el $4^{th}$ antiderivada de $y^y$ es decir

$$F(y) = \int^{y} dp \int^{p} dq \int^{q} dr \int^{r} ds\;s^s$$

La ecuación $(*)$ sugieren:

$$u(x,y) = -\left(2 F(y) +x^2 F''(y)\right) + \xi(x+y) + \chi(x-y)$$

donde $\xi(\cdot), \chi(\cdot)$ son arbitrarios $C^2$ será una solución para la EDP. Sustituyendo esto de nuevo en la EDP, este es efectivamente el caso.