Riemann suma de $\sin(x)$

Question

Quiero calcular la suma de Riemann de $\sin(x)$. La diversión comienza aquí:

$$R = \frac{\pi}{n} \sum_{j=1}^n \sin\left(\frac{\pi}{n}\cdot j\right)$$

¿Cuál sería la forma más simple de calcular la suma de $\sin\left(\frac{\pi}{n}\cdot j\right)$, de modo que uno podría proceder a evaluar el límite y así obtener el valor de la suma de Riemann, en otras palabras, la integral?

Hay tal vez una manera de usar $\mathbb{C}$?

Answer 1

Hay una manera de encontrar una expresión para la suma

$$\sum_{j = 1}^{n} \sin{(j \theta)}$$

considerando el lugar geométrico de la suma de la $$1 + z + z^2 + \cdots + z^n = \frac{z^{n+ 1} - 1}{z - 1} \quad \text{for $z \neq 1$}$$

en combinación con la fórmula de Euler mediante la toma de $ z = e^{i\theta} = \cos{\theta} + i \sin{\theta}$ y también el uso De la fórmula de Moivre. Entonces usted puede encontrar que

$$\sum_{j = 1}^{n} \sin{(j \theta)} = \frac{\cos{\left (\frac{\theta}{2} \right)} - \cos{\left ((n + \frac{1}{2})\theta \right )}}{2 \sin{ \left ( \frac{\theta}{2} \right )}}$$

Este es un ejercicio estándar en la mayoría de los análisis complejo de los libros o en realidad, cualquier libro que introduce a los números complejos. En el caso de que usted acaba de tener $\theta = \frac{\pi}{n}$.

Answer 2

Uso $$ 2 \sin\left(\frac{\pi}{2 n} \right) \sin\left(\frac{\pi}{n} \cdot j \right) = \cos\left( \frac{\pi}{2n} (2j-1) \right) - \cos\left( \frac{\pi}{2n} (2j+1) \right) $$ Por lo tanto la suma de los telescopios $\sum_{j=1}^n \left(g(j) - g(j+1) \right) = g(1) - g(n+1) $: $$ R_n =\frac{\pi}{n} \sum_{j=1}^n \sin\left(\frac{\pi}{n} \cdot j \right) = \frac{\pi}{2 n \sin\left( \frac{\pi}{2n} \right)} \left( \cos\left( \frac{\pi}{2n} \right) - \cos\left( \frac{\pi}{2n} (2n+1)\right) \right) = \frac{\pi}{n} \cdot \frac{1}{\tan\left( \frac{\pi}{2n} \right)} $$ El gran $n$ límite es fácil: $$ \lim_{n \to \infty} R_n = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{2 n} \cdot \frac{1}{\tan\left( \frac{\pi}{2n} \right)} = 2 \lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan(x)} = 2 $$