El proyectiva línea se define sobre $\mathbb Q$

Question

Notaciones:

Una variedad $X$ sobre un campo $C$ forma $C$-esquema de la estructura de morfismos $p: X\longrightarrow \textrm{Spec } C$ es separado y de finito tipo.

Decimos que una variedad $X$ se define más de un subcampo $K$ $C$ si no existe una variedad $X_K$ $K$ tal que $X\cong X_K\times_{\textrm{Spec }K}\textrm{Spec }C$.

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Mi pregunta:

A partir de ahora vamos a suponer que $C$ es algebraicamente cerrado campo de la característica $0$; por lo $\mathbb Q$ es el primer campo de $C$. En muchos artículos/libros he leído que

la línea proyectiva $\mathbb P^1_C$ "obviamente", definida sobre $\mathbb Q$

pero no entiendo por qué esto es cierto. Necesito un abajo en la tierra, la explicación de esta declaración.

Gracias de antemano.

Answer 1

La línea proyectiva sobre $\mathbb Q$ es la variedad de $\mathbb P^1_\mathbb Q=\text {Proj}( \mathbb Q[T_1,T_2])$.
Desde $$\mathbb P^1_C=\mathbb P^1_\mathbb Q\times _{\text {Spec} \mathbb Q} \text {Spec}\: C(=\text {Proj}( \mathbb Q[T_1,T_2]\otimes_\mathbb Q C)=\text {Proj}( \mathbb C[T_1,T_2]))$$ we see that according to your definition $\mathbb P^1_C$ is indeed defined over $\mathbb Q$.
Desde que estar separados y ser finito tipo de propiedades estables después del cambio de base, y desde $\mathbb P^1_\mathbb Q$ tiene estas propiedades, por lo que ha $\mathbb P^1_C$ .
Observe que algebraicas closedness de $C$ es completamente irrelevante para este problema.

Answer 2

Los de abajo-a-tierra intuición detrás ", definida sobre $F$" es que si usted deletrear los polinomios que se utiliza para describir un algeraic objeto (una variedad algebraica de grupo, ...) pueden ser elegidos de forma que todos los coeficientes son en $F$. Se requiere un poco de pensamiento a pesar de reconocer este hecho clave detrás de la abstarct definición.