Recuerdo haber visto una forma cerrada para la serie : $$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\Gamma(k+z)\psi(k+1)}{k!}x^{k}\;\;\;\; \left | x \right |<1$$ Pero no me parece recordar de qué se trataba . Traté de sustitución de la función gamma con su Euler integral y , a continuación, cambiar el orden de la suma y la integración, con el hecho de que : $$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\psi(k+1)}{k!}y^{k}=e^{y}\left(\log y +\Gamma(0,y\right)$$ Por lo tanto : $$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\Gamma(k+z)\psi(k+1)}{k!}x^{k}=\int_{0}^{\infty}y^{z-1}e^{(x-1)y}\left[(\log(xy)+\Gamma(0,xy)) \right ]dy$$ $$=x^{-z}\int_{0}^{\infty}\omega^{z-1}e^{\left(1-\frac{1}{x} \right )\omega}\left[\log \omega +\Gamma(0,\omega) \right ]d\omega$$ Donde $\Gamma(\cdot,\cdot)$ es la función gamma incompleta. Pero no sé cómo hacer la integral !
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Lema 1. Gracias a la ampliación del teorema del binomio, $$\sum_{k\geq 0}\frac{\Gamma(k+z)}{k!}\,x^k =\frac{\Gamma(z)}{(1-x)^z}.\la etiqueta{1}$$ $\phantom{}$ Lema 2. La serie de la definición de la función digamma asegura $$\begin{eqnarray*} \psi(k+1) = -\gamma+\sum_{n\geq 1}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}\right) &=& -\gamma+\sum_{n\geq 1}\int_{0}^{+\infty}e^{-nt}(1-e^{-kt})\,dt\\&=&-\gamma+\int_{0}^{+\infty}\frac{1-e^{-kt}}{e^{t}-1}\,dt\\&=&-\gamma+\int_{0}^{1}\frac{u^k-1}{u-1}\,du.\end{eqnarray*}\tag{2} $$
Por el Lema 1 y el Lema 2, $$\sum_{k\geq 0}\frac{\Gamma(k+z)\,\psi(k+1)}{k!}\,x^k = -\frac{\gamma\,\Gamma(z)}{(1-x)^z}+\Gamma(z)\int_{0}^{1}\frac{1}{u-1}\left(\frac{1}{(1-ux)^z}-\frac{1}{(1-x)^z}\right)\,du$$ y aplicando integración por partes $$\sum_{k\geq 0}\frac{\Gamma(k+z)\,\psi(k+1)}{k!}\,x^k = -\frac{\gamma\,\Gamma(z)}{(1-x)^z}-\Gamma(z+1)\int_{0}^{1}\frac{x \log(1-u)}{(1-u x)^{z+1}}\,du.\tag{3}$$ Ahora, la última integral se puede ver como la derivada de una función hipergeométrica (sustituyendo $u\mapsto(1-u)$, a continuación, la explotación de $\log(u)=\left.\frac{d}{d\alpha}u^{\alpha}\right|_{\alpha=0^+}$) o de expansión como una serie por la explotación de los $\log(1-u)=-\sum_{m\geq 1}\frac{u^m}{m}$.
