La Sexta Ley de Poder

Question

La Ley:

• El tamaño de un material sólido que puede ser transportado por una corriente (de agua) es proporcional a la sexta potencia de su velocidad.

Acabo de descubrir que leí esta ley hace mucho tiempo (tiene un nombre que empieza con N o P o algo así), y se me exigió que construyera un modelo convincente que condujera naturalmente a la sexta potencia. ¿Alguien puede darme un modelo interesante o simple?

Answer 1

Supongamos que tienes una partícula esférica siendo empujada por una pendiente de ángulo $ \theta $ por la corriente:

Supongamos que el sistema está dominado por fuerzas de inercia y no por fuerzas viscosas, en cuyo caso la fuerza sobre la partícula es igual al cambio de momento por segundo del fluido que la golpea. Si la velocidad del flujo es $v$ entonces la cantidad de agua que golpea la partícula por segundo es un cilindro de área $ \pi r^2$ y la longitud $v$ donde $r$ es el radio de las partículas. Si la densidad del líquido es $ \rho_f $ la masa de agua por segundo es $ \rho_f\pi r^2 v$ y el cambio de impulso es:

$$ mv = A \rho\pi r^2 v^2 $$

donde $A$ es un factor de fudge que da el porcentaje del impulso del líquido que se transfiere a la partícula. Así que la fuerza F que empuja a la partícula por la pendiente es:

$$ F_{up} = A \rho_f\pi r^2 v^2 \cos\theta $$

La fuerza de la pendiente es $mg \sin\theta $ y si $ \rho_p $ es la densidad de la partícula que la fuerza en términos de radio es:

$$ F_{down} = \tfrac {4}{3} \pi r^3 ( \rho_p - \rho_f ) g \sin\theta $$

Recuerde restar la densidad del líquido para permitir el empuje ascendente debido al fluido desplazado. Ahora sólo hay que igualar las dos fuerzas para obtener la velocidad a la que la partícula está en equilibrio y obtenemos:

$$ \tfrac {4}{3} \pi r^3 ( \rho_p - \rho_f ) g \sin\theta = A \rho_f\pi r^2 v^2 \cos\theta $$

o:

$$ r = \tfrac {3}{4}A \frac { \rho_f }{ \rho_p - \rho_f } \frac {1}{g \tan\theta } v^2 $$

Así que para la partícula que puede ser movida por el flujo que encontramos:

$$ r \propto v^2 $$

y por lo tanto:

$$ m \propto r^3 \propto v^6 $$

Su pregunta es en realidad un poco errónea ya que la tamaño es proporcional a la velocidad al cuadrado. Es el masa de la partícula que es proporcional a la sexta potencia de la velocidad.