Débil Ley de los Grandes Números para un no-iid, no ergodic secuencia

Question

Tengo un poco de pregunta abierta. Digamos que tengo una secuencia de variables aleatorias $(X_n: n \geq 1)$ que son ni independientes, ergodic, ni idénticamente distribuidas. Normalmente yo diría que estoy completamente muerto en el agua, pero digamos que $X_n \overset{d}{\to} X$. Hay otros supuestos bajo los cuales puedo decir que:

$$ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_n \;\overset{P}{\to}\; \mathbb{E}X $$

Aunque supongo que la expectativa de la mano izquierda converge a $\mathbb{E}X$, estoy atascado pensando sobre esto más general. Algún consejo?

EDIT: Pensando sobre esto un poco más, me siento como haciendo una martingala de la LHS y, a continuación, comprobar en qué condiciones hemos deseado martingala convergencia sería razonable ruta a seguir. Alguna idea sobre esto?

EDIT 2: por Nate Eldredge el comentario de abajo, tengo que asumir que la expectativa de la LHS parcial de la suma objeto converge a $EX$... no se siguen de $X_n \overset{d}{\to} X$.

Answer 1

Después de hacer un poco de lectura aquí, parece martingales ofrecen un enfoque general.

Asumir que las expectativas de $n^{-1} \sum_{i=1}^n X_i$ convergen a $E X$. Entonces, si es posible demostrar que las sumas parciales $n^{-1} \sum_{i=1}^n X_i$ se concentran en torno a sus medios suficientemente fuerte, se puede aplicar una desigualdad de triángulo para mostrar que $n^{-1} \sum_{i=1}^n X_i$ converge a $EX$.

El paso donde martingales entrar es el que muestra la concentración. Si $\{n^{-1} \sum_{i=1}^n X_i\}_{n \geq 1}$ es una martingala con delimitada incrementos, a continuación, Azuma la desigualdad es una posible solución. Esto es esencialmente lo que se utiliza en un clásico de papel en la fijación preferencial al azar gráfico modelos: http://www.ee.columbia.edu/~jiantan/E6083/swdeg.pdf

EDIT: por Nate Eldredge del comentario de abajo.