Cómo encontrar esta función $f(x)\equiv 0,x\in R$ ?

Question

Dejemos que $f:\mathbb R \to \mathbb R$ tienen las propiedades

(1): para cualquier número primo $p$ y cualquier número real $x$ , $$\sum_{j=0}^{p-1}f\left(x+\dfrac{j}{p}\right)=0$$

(2): existen números reales $a$ y $b(>a)$ tal que: $x\in (a,b) \implies f(x)=0$

Demuestra que $f(x)\equiv 0$

Tal vez podamos utilizar este hecho bien conocido: $$1+a+a^2+\cdots+a^{n-1}=0,a=\exp \left (\dfrac{k\pi\cdot i}{n}\right )$$ pero no sé cómo usarlo aquí.

Answer 1

Denota por $p_k$ el $k$ -ésima prima. Fijar un número entero $r\geq 1$ . Sea $P=p_1p_2p_3 \ldots p_r$ y $g(x)=f(\frac{x}{P})$ . Entonces $g$ satisface :

$$ \sum_{j=0}^{p_k-1} g\left(y+j\prod_{l\neq k}p_l\right)=0 \tag{1} $$

para cualquier $k\in [1,r]$ y $y\in{\mathbb R}$ . Para $P\in{\mathbb Q}[X]$ , $P=\sum_{k=0}^d a_kX^k$ , defina

$$ \psi(P)=\sum_{k=0}^d a_k g(y+k) \tag{2} $$

Entonces $\psi$ es un homomorfismo de anillo, y (1) nos dice que el polinomio $Q_k=\sum_{j=0}^{p_k-1} X^{j\prod_{l\neq k}p_l}$ está en ${\sf Ker}(\psi)$ . Ahora $Q_k=\Phi_{p_k}(X^{\prod_{l\neq k}p_l})$ para que $z\in{\mathbb C}$ es una raíz de $Q_k$ si $z^{\frac{P}{p_k}}$ es un primitivo $p_k$ -raíz de la unidad.

De ello se desprende que $z$ es una raíz común de todos los $Q_k (1\leq k \leq r)$ si $z$ es una primitiva $P$ -raíz de la unidad. El gcd de la $Q_k (1\leq k \leq r)$ es por lo tanto $\Phi_{P}$ . Pero como ${\sf Ker}(\psi)$ es un ideal de $P\in{\mathbb Q}[X]$ tenemos $\Phi_P \in {\sf Ker}(\psi)$ . Sabemos que el grado de $\Phi_P$ es exactamente $\phi(P)=\prod_{k=1}^r (p_k-1)=d_k$ por lo que podemos escribir $\phi_P=X^{d_k}+ \sum_{i=0}^{d_k-1} a_i X^i$ donde el $a_i$ son números enteros. Entonces tenemos :

$$ g(y+d_k)=\sum_{i=0}^{d_k-1}a_ig(y+i) \tag{3} $$ para cualquier $y\in{\mathbb R}$ . Iterando (3), vemos que si $g$ es cero en un intervalo de longitud $\geq d_k$ entonces debe ser cero en todas partes. Deducimos que si $f$ iz cero en un intervalo de longitud $\geq \frac{d_k}{P}=e_k$ entonces debe ser cero en todas partes. Pero

$$ e_k=\prod_{k=1}^r \left(1-\frac{1}{p_k}\right) \tag{4} $$

tiende a cero cuando $r\to\infty$ (por Fórmula del producto de Euler por ejemplo), así que hemos terminado.